Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Első zárthelyi

A feladatokat külön lapra írjuk, és minden lapon legyen rajta olvashatóan a szerző és a gyakvezér neve. Valamennyi feladat 6 pontot ér, 30 pont biztosan elég a jeleshez, 12 az elégségeshez, feltéve ha van lényegében megoldott feladat (azaz amelyik legalább 5 pontot kapott). Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont.

1. Legyen G = ℤ_{10}^{+} × ℤ_{5}^{×} és N = {(0, 1), (0, 4), (5, 1), (5, 4)}. Jelölje A illetve B az (1, 2) illetve a (2, 2) elem N szerinti mellékosztályát, és C a G/N csoport A és B elemeinek a szorzatát. Soroljuk fel C elemeit, és számítsuk ki a rendjét ebben a faktorcsoportban.

2. Izomorfia erejéig hány olyan 72 elemű Abel-csoport van, amelyben van 12 rendű elem?

3. Egy háromszög mindegyik csúcsához egy másik háromszöget ragasztunk a csúcsánál fogva. Hány szimmetriája van az így kapott (9 csúcsú) gráfnak?

4. Van-e φ : S_{4} → ℤ_{3}^{+} szürjektív homomorfizmus?

5. A páratlan rendű G csoportban N egy ötelemű nomálosztó. Igazoljuk, hogy N ⊆ Z(G).

6. A GL(3, 2) csoportban tekintsük azokat a mátrixokat, melyek főátlójában csupa 1, alatta csupa 0 áll. Igaz-e, hogy ez a részcsoport D_{4}-gyel izomorf?

Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Első zárthelyi

A feladatokat külön lapra írjuk, és minden lapon legyen rajta olvashatóan a szerző és a gyakvezér neve. Valamennyi feladat 6 pontot ér, 30 pont biztosan elég a jeleshez, 12 az elégségeshez, feltéve ha van lényegében megoldott feladat (azaz amelyik legalább 5 pontot kapott). Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont.

1. Legyen G = ℤ_{10}^{+} × ℤ_{5}^{×} és N = {(0, 1), (0, 4), (5, 1), (5, 4)}. Jelölje A illetve B az (1, 2) illetve a (2, 2) elem N szerinti mellékosztályát, és C a G/N csoport A és B elemeinek a szorzatát. Soroljuk fel C elemeit, és számítsuk ki a rendjét ebben a faktorcsoportban.

2. Izomorfia erejéig hány olyan 72 elemű Abel-csoport van, amelyben van 12 rendű elem?

3. Egy háromszög mindegyik csúcsához egy másik háromszöget ragasztunk a csúcsánál fogva. Hány szimmetriája van az így kapott (9 csúcsú) gráfnak?

4. Van-e φ : S_{4} → ℤ_{3}^{+} szürjektív homomorfizmus?

5. A páratlan rendű G csoportban N egy ötelemű nomálosztó. Igazoljuk, hogy N ⊆ Z(G).

6. A GL(3, 2) csoportban tekintsük azokat a mátrixokat, melyek főátlójában csupa 1, alatta csupa 0 áll. Igaz-e, hogy ez a részcsoport D_{4}-gyel izomorf?