Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Hatodik alkalom

Egy α ∈ ℂ szám ℚ feletti minimálpolinomja az a normált m_{α} ∈ ℚ[x] polinom, mely minden olyan racionális együtthatós polinomnak osztója, melynek α gyöke. Ha f ∈ ℚ[x] normált, irreducibilis ℚ felett, és gyöke az α, akkor f = m_{α}. Ismétlés: Módszerek az irreducibilitás eldöntésére ℚ és ℤ felett:

– Egy nem konstans polinom akkor és csak akkor irreducibilis ℤ felett, ha irreducibilis ℚ felett, és primitív.

– Egy másod- vagy harmadfokú polinom akkor és csak akkor irreducibilis ℚ felett, ha nincs racionális gyöke (használjuk a racionális gyöktesztet).

– Bontsuk fel a polinomot ℂ vagy ℝ felett, és használjuk a felbontás egyértelműségét.

– A Schönemann-Eisenstein kritérium.

– f akkor és csak akkor irreducibilis ℚ felett, ha egy eltoltja (f(x + c), c ∈ ℚ) az.

– Ha f ∈ ℤ[x], akkor vizsgáljuk modulo p, ahol p prímszám.

1. Írjuk fel az 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} szám reciprokát a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} alakban (ahol a, b, c racionális számok).

2. Legyen θ az x^{3} +3x+1 polinom (egyetlen) valós gyöke. Írjuk fel a θ^{5} +2θ^{3} és a θ/(θ−3) számokat kanonikus alakban (azaz a + bθ + cθ^{2} alakban, ahol a, b, c racionális számok).

3. Határozzuk meg az alábbi számok minimálpolinomját a racionális test felett: π, 1 + i, \sqrt{2} + i, \sqrt{2} + \sqrt{3}, \sqrt[3]{2}, 1 + \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2 + \sqrt{2}}, \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 − 5\sqrt{2}}, cos 20^{∘}, tetszőleges primitív n-edik egységgyök.

4. Adjunk meg egy olyan c számot, melyre ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = ℚ(c).

Legyen K részteste az L testnek, és α_{1}, …, α_{n} ∈ L. Ekkor K(α_{1}, …, α_{n}) az L legszűkebb olyan részteste, amely K-t és az α_{1}, …, α_{n} elemeket tartalmazza, azaz a K és α_{1}, …, α_{n} által generált résztest. Ennek a definíciónak az alapján részletesen belátjuk, hogy ha α, β ∈ L, akkor K(α)(β) = K(α, β). Megmutatjuk, hogy mindkét oldal tartalmazza a másikat. A K(α)(β) tartalmazza a β elemet, és a K(α) testet. A K(α) test tartalmazza az α elemet, és a K testet. Ezért K(α)(β) tartalmazza K-t is, és az α, β elemeket is. Mivel K(α, β) a legszűkebb az ilyen tulajdonságú testek közül, azért K(α, β) ⊆ K(α)(β). A másik tartalmazás belátásához vizsgáljuk a K(α, β) testet. Ez tartalmazza az α elemet, és a K testet, és mivel K(α) a legszűkebb ilyen test, K(α) ⊆ K(α, β). De K(α, β) tartalmazza a β elemet is, és így a legszűkebb olyan testet is, ami a β elemet és a K(α) testet tartalmazza, ami definíció szerint K(α)(β).

5. A fenti bizonyítás módszerével igazoljuk, hogy ha α ≠ 0, akkor K(α, β) = K(α, αβ).

6. Tegyük fel, hogy K ≤ L testbővítés, és α ∈ L. Bizonyítsuk be, hogy ekkor K(α) = {f(α)/g(α) | f, g ∈ K[x], g(α) ≠ 0}, és ha α transzcendens K felett, akkor ez az előállítás egyértelmű (feltéve, hogy az f(x)/g(x) már egyszerűsített alakban van felírva, azaz f és g relatív prím polinomok, és g normált, hogy konstanssal se lehessen egyszerűsíteni).