Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Ötödik alkalom

1. Döntsük el, hogy az alábbi csoportok közül melyek bonthatók fel két valódi részcsoportjuk direkt szorzatára, és igenlő válasz esetén adjunk is meg egy-egy ilyen felbontást: ℤ_{6}^{+}, ℤ_{8}^{+}, ℤ^{+}, ℚ^{+}, ℂ^{+}, ℤ_{15}^{×}, ℤ_{16}^{×}, D_{3}, D_{4}, Q, A_{4}, S_{5}.

2. Adjuk meg a ℤ_{2}^{+} × ℤ_{4}^{+} csoport összes negyedrendű elemét.

3. A véges Abel-csoportok alaptételének felhasználásával döntsük el, hogy izomorfia erejéig hány 6, 8, 16, 32, 48 rendű Abel-csoport van.

4. Legyen G tizedrendű nemkommutatív csoport. Bizonyítsuk be a következő állításokat. a) G-ben nincs tizedrendű elem.

b) Ötödrendű elem nem lehet felcserélhető másodrendű elemmel.

c) G-ben nem lehet minden elem másodrendű (vö. I/7.).

d) G-ben van másodrendű elem (vö. I/9.).

e) G-ben van ötödrendű elem.

f) Minden ötödrendű elem centralizátora ötelemű.

g) Minden másodrendű elem centralizátora kételemű.

h) G-ben öt darab másodrendű elem van, és ezek mind konjugáltak.

i) G-ben négy darab ötödrendű elem van.

j) Ha |f| = 5 és |t| = 2, akkor tft^{−1} = f^{−1}.

k) G ≅ D_{5}. Hogyan általánosítható ez a gondolatmenet, ha G rendje egy prím kétszerese?

További gyakorló feladatok

5. Álljon G az S_{8} azon elemeiből, melyek az {1, 2, 3, 4} részhalmazt önmagába képzik. Mutassuk meg, hogy ez részcsoport, de nem normálosztó S_{8}-ban. Igaz-e, hogy G ≅ S_{4}×S_{4}?

6. Igazoljuk, hogy ha G és H csoportok, akkor Z(G × H) = Z(G) × Z(H).

7. Bizonyítsuk be, hogy D_{6} ≅ S_{3} × ℤ_{2}^{+}.

8. Hányféleképpen bontható direkt szorzatra ℤ_{5}^{+} × ℤ_{5}^{+}?

9. Ha p prím, és a G nemkommutatív csoport rendje p^{3}, akkor mutassuk meg, hogy G nem bontható fel két valódi részcsoportjának direkt szorzatára.

10^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy n ≥ 2 esetén ℤ_{2^{n}}^{×} ≅ ℤ_{2}^{+} × ℤ_{2^{n−2}}^{+}.

11^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy páratlan prímhatványokra és a kétszereseikre van primitív gyök. Vezessük le az utolsó két feladatból, hogy milyen modulusokra van primitív gyök.