Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Negyedik alkalom

1. Állapítsuk meg az D_{4} csoport konjugált osztályait, normálosztóit, centrumát, és azt, hogy a csoport feloldható-e.

2. A véges, nemkommutatív egyszerű csoportok rendjeinek felsorolása így kezdődik: 60, 168, 360, 504, 660, 1092, 2448, 2520, 3420, 4080, 5616, 6048, 6072, 7800, 9828, 12180, 14880, 20160, 20160, 25308, 25920, . . .. Igazoljuk, hogy minden 200 elemű csoport feloldható.

3. Legyen N kételemű normálosztó a G csoportban. Igazoljuk, hogy N ≤ Z(G).

4. Mutassuk meg, hogy ha egy G csoport azon elemei, melyeknek a négyzete az egységelem, részcsoportot alkotnak, akkor ez egyben normálosztó is. Igaz-e mindig, hogy ez a részhalmaz részcsoport?

5. Bizonyítsuk be, hogy ha G/Z(G) ciklikus csoport, akkor G Abel.

6. Igazoljuk, hogy GL(n, T) centruma az egységmátrix nem nulla skalárszorosaiból áll.

7. Legyen p > 2 prím. A GL(3, p) csoportban tekintsük azokat a mátrixokat, melyek főátlója alatt csupa 0, a főátlójában pedig csupa 1 áll. Igazoljuk, hogy egy p^{3} elemszámú G részcsoportot kaptunk, mely nem kommutatív, és minden egységtől különböző eleme p rendű. Határozzuk meg ennek a csoportnak a centrumát.

További gyakorló feladatok

8. Mutassuk meg, hogy ha P véges p-csoport valamilyen p prímre, és N nemtriviális normálosztó P -ben, akkor |N ∩ Z(P)| > 1.

9. Legyen N normálosztó a G csoportban. Rendeljük hozzá G/N tetszőleges K részcsoportjához a K elemeinek uniójából képzett L halmazt. Igazoljuk az alábbi állításokat.

a) L részcsoport G-ben, melynek indexe G-ben ugyanaz, mint K indexe G/N-ben.

b) Az így megadott megfeleltetés bijekció G/N összes részcsoportja, és a G csoport N-et tartalmazó részcsoportjai között.

c) Ennél a megfeleltétésnél G/N normálosztói éppen a G csoport N-et tartalmazó normálosztóinak felelnek meg.

d) K ≅ L/N, és ha K normálosztó, akkor (G/N)/K ≅ G/L.

10^{∗}. Mutassuk meg, hogy ha P véges p-csoport valamilyen p prímre, akkor minden p indexű részcsoportja normálosztó.

11. Legyen g ∈ G ≤ S_{X}. Mutassuk meg, hogy gG_{x}g^{−1} = G_{g(x)}.

12. Bizonyítsuk be, hogy az S_{n} csoportban két elem akkor és csak akkor konjugált, ha a ciklusfelbontásuk „egyforma”, azaz a két felbontásban az azonos hosszúságú ciklusok száma megegyezik. Vezessük le ebből azt az elmúlt félévben gyakorlaton már bizonyított állítást, hogy S_{n}-ben az (12 … n) elem centralizátora a saját hatványaiból áll.

13. Állapítsuk meg az alább felsorolt csoportok konjugált osztályait, normálosztóit, centrumát, és azt, hogy a csoport feloldható-e: D_{3}, D_{5}, Q, S_{4}, S_{5}, A_{4}, A_{5}, GL(2, 2).

14^{∗}. Mutassuk meg az előző feladat eredményéből kiindulva, n szerinti indukcióval, hogy A_{n} egyszerű, ha n ≥ 5.