Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Harmadik alkalom

1. Osztályozzuk az alábbi csoportokat aszerint, hogy melyek izomorfak közülük: ℤ_{2}^{+}, ℤ_{3}^{+}, ℤ_{4}^{+}, ℤ_{8}^{+}, ℤ_{3}^{×}, ℤ_{5}^{×}, ℤ_{6}^{×}, ℤ_{8}^{×}, ℤ_{12}^{×}, S_{2}, A_{3}, S_{3}, D_{3}, D_{4}, Q (a kvaterniócsoport), GL(2, 2).

2. Bizonyítsuk be, hogy ha G négyelemű csoport, akkor G ≅ ℤ_{4}^{+} vagy G ≅ ℤ_{8}^{×}. Ez utóbbi csoportot (és a vele izomorfakat) Klein-csoportnak nevezzük.

3^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha G hatelemű csoport, akkor G ≅ ℤ_{6}^{+} vagy G ≅ S_{3}.

4. Döntsük el az alábbi φ : G_{1} → G_{2} leképezésekről, hogy homomorfizmusok-e. Ha igen, határozzuk meg a magjukat és a képüket.

a) G_{1} = G_{2} = ℂ^{+}, φ(x) = |x| (abszolút érték).

b) G_{1} = G_{2} = ℂ^{×}, φ(x) = |x| (abszolút érték).

c) G_{1} = ℝ^{+}, G_{2} = ℝ^{×}, φ(x) = e^{x}.

d) G_{1} = ℝ^{+}, G_{2} = ℂ^{×}, φ(x) = cos x + i sin x.

e) G_{1} = GL(n, T), G_{2} = T^{×}, φ(A) = det(A).

f) G_{1} = S_{n}, G_{2} = ℤ^{×}, φ(f) az f előjele (azaz ±1).

g) G_{1} = ℤ^{+}, G_{2} = ℤ_{n}^{+}, φ(a) az a maradéka mod n.

h) G_{1} = ℤ_{100}^{+}, G_{2} = ℤ_{100}^{+}, φ(x) = 60x.

i) G_{1} = D_{n}, G_{2} = ℤ_{2}^{+}, φ(x) = 0 ha x forgatás, 1 ha x tengelyes tükrözés.

j) G_{1} = ℝ[x]^{+}, G_{2} = ℂ^{+}, φ(f) = f(i).

5. A homomorfizmus-tétel alapján igazoljuk a következő izomorfizmusokat.

a) ℂ^{×}/egységkör ≅ pozitív valós számok a szorzásra . Milyen geometriai alakzatok ennek a faktorcsoportnak az elemei?

b) ℝ^{+}/ℤ^{+} ≅ komplex egységkör a szorzásra .

c) S_{n}/A_{n} ≅ ℤ^{×}.

d) ℤ^{+}/nℤ^{+} ≅ ℤ_{n}^{+}.

6. Állapítsuk meg az alábbi faktorcsoportok elemeinek rendjeit, és írjuk fel a szorzástábláikat: D_{4}/{e, f^{2}}, S_{4}/{e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. A kapott faktorok izomorfak-e valamilyen ismert csoporttal?

7. Állapítsuk meg, milyen ismert csoporttal izomorfak az alábbi faktorok:

a) D_{8}/{e, f^{2}, f^{4}, f^{6}}.

b) A_{4}/{e, (12)(34), (13)(24), (14)(32)}.

c) D_{n}/{e, f, f^{2}, …, f^{n−1}}.

d) ℤ_{16}^{×}/{1, 9}.

8. Van-e a kocka szimmetriacsoportjának S_{4}-gyel izomorf részcsoportja?

9. Bizonyítsuk be, hogy izomorfizmusnál normálosztó képe normálosztó.

10. Keressük meg S_{4}-nek azt a részcsoportját, amit a Cayley-tétel bizonyítása a Kleincsoporthoz rendel. Tegyük meg ugyanezt S_{6}-ban a D_{3} csoporttal is.