Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Második alkalom

1. Határozzuk meg az alábbi G ≤ S_{X} permutációcsoportokban az orbitokat és a stabilizátorokat.

a) X a sík pontjai, G az origó körüli forgatások csoportja.

b) X a sík pontjai, G az x-tengellyel párhuzamos eltolások csoportja.

c) X egy szabályos n-szög csúcsai, G ezt az n-szöget önmagába vivő egybevágóságok csoportja.

d) X egy szabályos n-szög csúcsai, G ezt az n-szöget önmagába vivő egybevágóságok csoportjának egy adott csúcsot fixáló elemei.

e) X = {1, 2, 3, 4}, G = A_{4}.

f) X az S_{3} csoport alaphalmaza, g ∈ S_{3} esetén legyen f_{g}(x) = gx, a G csoport az f_{g} permutációkból áll.

g) X az S_{3} csoport alaphalmaza, g ∈ S_{3} esetén legyen f_{g}(x) = gxg^{−1}, a G csoport az f_{g} permutációkból áll (itt csak a stabilizátorok kellenek).

2. Határozzuk meg a G csoportban az X által generált részcsoportot:

a) G = ℤ^{+}, X = {28, 34}.

b) G = S_{4}, X = {(123), (12)(34)}.

c) G = ℝ^{×}, X = {2, 3}.

d) G = GL(n, ℝ), X a 2 determinánsú mátrixok halmaza.

3. Határozzuk meg az alábbi alakzatok szimmetriáinak számát.

a) Egy olyan téglatest, aminek mindhárom élhosszúsága különböző.

b) Egy olyan négyzet alapú egyenes hasáb, ami nem kocka.

c) Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb.

4. Rajzoljunk olyan gráfokat, melyeknek rendre pontosan 2, 4, illetve 3 szimmetriája van. Rajzoljunk olyat is, aminek csak 1 van (az identitás).

5. Igazoljuk, hogy ha A ≤ S_{n} Abel-féle és tranzitív, akkor |A| = n.

6. Legyen G ≤ S_{X} és x, y ∈ G. Mutassuk meg, hogy ha g(x) = y, és x stabilizátora H, akkor y stabilizátora gHg^{−1}.

7. Legyen f a D_{n} diédercsoportban egy 2π/n szögű forgatás, t pedig tetszőleges tengelyes tükrözés. Mutassuk meg, hogy D_{n} minden eleme egyértelműen felírható f^{i} vagy tf^{i} alakban, ahol 0 ≤ i < n. Igazoljuk azt is, hogy f^{i}t = tf^{−i} minden i egészre.

8. Határozzuk meg a D_{5} és D_{6} diédercsoportokban a ⟨t, f^{2}⟩ részcsoportot.

9. Igazoljuk, hogy Abel-csoportban ⟨g_{1}, …, g_{n}⟩ = {g_{1}^{k_{1}} … g_{n}^{k_{n}} | k_{1}, …, k_{n} ∈ ℤ}.

10. Igazoljuk, hogy ha a G csoportnak csak a két triviális részcsoportja van, akkor G prímrendű ciklikus.

11. Bizonyítsuk be, hogy a racionális számok additív csoportja nem végesen generált.

12^{∗∗}. Bizonyítsuk be, hogy végesen generált csoportnak minden véges indexű részcsoportja végesen generált.