Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Tizenegyedik alkalom

Ezen a feladatsoron, részben már a szigorlatra való tekintettel, az alábbi témakörök szerepelnek: karakterisztika, prímtest, véges testek, algebrailag zárt testek, Frobenius-tétel, rendezett gyűrűk, főideálgyűrűk. Egyes témaköröket csak érinteni tudunk, további gyakorló feladatok találhatók a Czédli-Szendrei-Szendrei feladatgyűjteményben.

1. Melyek igazak az alábbi állítások közül?

a) A páros számok gyűrűjének hányadosteste izomorf ℤ-vel.

b) A Gauss-egészek gyűrűjének hányadosteste izomorf ℚ(i)-vel.

c) Véges gyűrűben nem lehet olyan elem, melynek additív rendje 6.

d) Véges nullosztómentes gyűrűben nem lehet olyan elem, melynek additív rendje 6.

e) Van olyan végtelen test, aminek a karakterisztikája 2.

f) Van olyan algebrailag zárt test, aminek a karakterisztikája 2.

g) A ℤ_{p} test felett minden n ≥ 1-re létezik n-edfokú irreducibilis polinom.

h) Ha K karakterisztikája nem kettő, akkor K minden másodfokú bővítése egy K-beli elem négyzetgyökének adjungálásával kapható. (És ha a karakterisztika kettő?)

i) Egy p ≠ 0 karakterisztikájú testben pontosan 1 darab p-edik egységgyök van.

2. Hány gyöke van a 27-elemű testben az x^{4} +x^{3} +x^{2} +x+1 és az x^{2} −x+1 polinomnak?

3. Határozzuk meg az alábbi polinomok felbontási testének fokát: x^{4} −2 a ℤ_{2} felett; x^{4} −1 a ℤ_{2} felett; x^{4} − x a ℤ_{2} felett; x^{8} − x a ℤ_{2} felett; x^{2} + 1 a ℤ_{17} felett; x^{2} − 3 a ℤ_{17} felett; x^{11} − 1 a ℤ_{2} felett (ez utóbbi nehezebb).

4. Legyen L = ℤ_{2}[x]/(x^{3} + x + 1) (a nyolcelemű test), és K a prímteste. Mutassuk meg, hogy a φ : x ↦ x^{2} leképezés relatív automorfizmusa L-nek K felett. Mik ennek a fixpontjai? Mennyi a φ rendje a bővítés Galois-csoportjában? Hány elemű ez a csoport? Mik a közbülső testek? Igaz-e a Galois-elmélet főtétele erre a bővítésre?

5. Mutassuk meg, hogy a Frobenius-tétel feltételei mind szükségesek.

6. Mutassuk meg, hogy az alábbi megfeleltetés gyűrű-izomorfizmus (sőt ℝ feletti algebraizomorfizmus) a kvaterniótest, és a ℂ^{2×2} mátrixgyűrű egy részgyűrűje között. Igazoljuk ennek felhasználásával, hogy a kvaterniók tényleg gyűrűt alkotnak.

a + bi + cj + dk ⟷ ( \begin{matrix}a + bi & c + di \\ −c + di & a − bi \end{matrix} ) (a, b, c, d ∈ ℝ).

7. Hány rendezése van a ℚ(\sqrt{2}) gyűrűnek?

8. Legyen R kommutatív, egységelemes gyűrű, és a, b ∈ R.

a) Mutassuk meg, hogy (a) = (b) akkor és csak akkor teljesül, ha a és b asszociáltak.

b) Jelölje (a, b) az {ar + bs | r, s ∈ R} halmazt. Mutassuk meg, hogy (a, b) ideál az R-ben, mégpedig a legszűkebb olyan ideál, amely a-t is és b-t is tartalmazza.

c) Tegyük fel, hogy van olyan c ∈ R, amelyre (a, b) = (c). Mutassuk meg, hogy akkor c kitüntetett közös osztója a-nak és b-nek (azaz c osztója a-nak és b-nek, és osztható a és b mindegyik közös osztójával).

9. Főideál-e ℤ[x]-ben (x + 1, x + 2) illetve (2x + 2, x + 4)?