Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Tizedik alkalom — megoldásvázlatok

1. A faktorgyűrűben reprezentánsokkal számoljunk. A mellékosztályokat az összeadás, nem a szorzás szerint kell képezni, például a ℤ_{8}/{0, 4} faktorgyűrű elemei {0, 4}, {1, 5}, {2, 6}, {3, 7}. Vigyázzunk, míg csoportok esetében két mellékosztály komplexusszorzata egy teljes mellékosztály volt, addig gyűrűkben két mellékosztály komplexusszorzata általában csak részhalmaza lesz egy mellékosztálynak. Például az iménti példában {0, 4} önmagával vett komplexusszorzata a {0} halmaz, a faktorgyűrűben viszont ennek az elemnek az önmagával vett szorzata 0 · 0 + {0, 4}, azaz önmaga. A feladat eredménye: az első három gyűrű ℤ_{4}-gyel izomorf. A következő kettő egymással izomorf, de ℤ_{4}-gyel nem, mert nem egységelemesek. Az utolsó két gyűrű izomorf.

2. Ha az ℝ[x]/(x^{2} +1) faktorgyűrűben akarunk számolni, akkor minden osztályból egy „ügyes” reprezentánst kell kiválasztani. Nyilván f és g akkor és csak akkor van egy osztályban, ha f − g ∈ (x^{2} + 1), azaz ha f és g ugyanazt a maradékot adja x^{2} + 1-gyel osztva. A lehetséges osztási maradékok éppen az ax + b alakú polinomok, ahol a, b ∈ ℝ. Két ilyet úgy kell összeszorozni, hogy a szorzást elvégezzük ℝ[x]-ben, és a szorzatnak megkeressük a reprezentánsát, azaz a vele egy maradékosztályban levő ax + b alakú polinomot. Ez persze éppen a szorzatnak az x^{2} + 1-gyel vett osztási maradéka lesz. Összefoglalva: ha az ax + b alakú polinomokkal modulo x^{2} + 1 számolunk, akkor éppen az ℝ[x]/(x^{2} + 1)-gyel izomorf gyűrűt kapunk. Ha tehát \overline{ax + b} = ax + b + (x^{2} + 1) jelöli ax + b maradékosztályát, akkor \overline{ax + b} · \overline{cx + d} = \overline{acx^{2} + (ad + bc)x + bd} = \overline{ac(x^{2} + 1)} + \overline{(ad + bc)x + ad − bc} = \overline{(ad + bc)x + ad − bc}. Ezt a komplex számok szorzásával összevetve azonnal látjuk, hogy az \overline{ax + b} ↔ ai + b megfeleltetés izomorfizmus ℝ[x]/(x^{2} + 1) és ℂ között. Speciálisan tehát az i az \overline{x} = x+(x^{2} +1)-hez, az a valós szám pedig az \overline{a} = a^{∗} = a+(x^{2} +1) maradékosztályhoz tartozik.

Hogy jön ki ez az izomorfizmus a homomorfizmus-tételből? Tekintsük azt az ℝ[x] → ℂ homomorfizmust, amely az f polinomhoz f(i)-t rendeli. Ennek képe a teljes ℂ, hiszen minden ai + b szám megkapható például az ax + b polinom képeként. Magja azokból az f polinomokból áll, amik a nullába képződnek, azaz amiknek gyöke az i. Ezek éppen az i minimálpolinomjának többesei. De i minimálpolinomja x^{2}+1, így a mag (x^{2}+1).

3. Modulo x^{2} + x + 1 kell számolni az ax + b alakú polinomokkal, ahol a, b ∈ ℤ_{2}. Tehát négy polinomról van szó, legyen N = \overline{0} = 0 + (x^{2} + x + 1), E = \overline{1} = 1 + (x^{2} + x + 1), A = \overline{x} = x + (x^{2} + x + 1) és B = \overline{x + 1} = x + 1 + (x^{2} + x + 1). Például AB = \overline{x^{2} + x} = \overline{x^{2} + x + 1 + 1} = \overline{1} = E (hiszen minden elem kétszerese nulla). A táblák:

\begin{matrix}+ & N & E & A & B \\ N & N & E & A & B \\ E & E & N & B & A \\ A & A & B & N & E \\ B & B & A & E & N \end{matrix}  \begin{matrix}∗ & N & E & A & B \\ N & N & N & N & N \\ E & N & E & A & B \\ A & N & A & B & E \\ B & N & B & E & A \end{matrix}

Testet kaptunk, mert az E egységelem a szorzástábla minden sorában szerepel az elsőt kivéve. Nyilván {N, E} = {0^{∗}, 1^{∗}} a ℤ_{2}-vel izomorf résztest. Az f(x) = x^{2} + x + 1 polinomba nem tudunk A-t helyettesíteni, de a neki megfelelő f^{∗}(x) = Ex^{2} + Ex + E polinomba igen, és láthatjuk, hogy ennek gyökei A és B. Mivel f^{∗} irreducibilis {N, E} felett (másodfokú, és nincs e testben gyöke), ezért f^{∗} az A és B minimálpolinomja. Az E minimálpolinomja Ex − E, az N-é Ex. Az E elemet 1-gyel, N-et 0-val azonosítva mondhatjuk, hogy ℤ_{2} egy olyan négyelemű, másodfokú bővítését konstruáltuk meg, amelyben az x^{2} + x + 1-nek már van gyöke.

4. a) Az ℝ[x]/(x^{2} − 1) nem nullosztómentes, mert x + 1 + (x^{2} − 1) és x − 1 + (x^{2} − 1) egyike sem nulla (miért?), de szorzatuk az. Ezért e faktorgyűrű nem lehet testtel izomorf. Az ℝ[x]/(x^{2} + 2) vizsgálatához a 2. feladat mintájára olyan homomorfizmust kell konstruálni, mely az x^{2} + 2 polinomot viszi nullába. Ilyen az i\sqrt{2} behelyettesítése, tehát az f ↦ f(i\sqrt{2}) leképezés. A kép most is a teljes ℂ, hiszen ai + b megkapható a/\sqrt{2}x + b képeként. A mag az i\sqrt{2} minimálpolinomja által generált főideál, azaz (x^{2} + 2). b) A keresett homomorfizmus a φ : ℚ[x] → ℝ, ahol φ(f) = f(\sqrt{2}). c) Itt \sqrt[3]{2}-t kell helyettesíteni. d) Rendeljük hozzá minden polinomhoz a konstans tagjának a paritását. Ez homorfizmus ℤ[x]-ből ℤ_{2}-re, és így ℤ[x]/I ≅ ℤ_{2}, ahol I ennek a homomorfizmusnak a magja. Tehát I azokból a polinomokból áll, melyek konstans tagja páros.

5. Az f(x)x ≡ 1 (x^{2} + x + 1) kongruenciát kell megoldani f(x)-re. Használhatnánk a szokásos, euklideszi algoritmuson alapuló eljárást, de most látszik, hogy f(x) = −x − 1 megoldás. Ezért x + (x^{2} + x + 1) (egyértelmű) inverze −x − 1 + (x^{2} + x + 1).