Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Tizedik alkalom

Legyen K test, és f ∈ K[x] irreducibilis polinom. Beláttuk, hogy az L = K[x]/(f) faktorgyűrű test, és azt is, hogy ha c ∈ K[x] konstans polinom, akkor a c^{∗} = c + (f) maradékosztályok az L-nek egy K-val izomorf résztestét alkotják. Ha tehát a c elemet azonosítanánk c^{∗}-gal, akkor (pongyolán) azt is mondhatnánk, hogy L valójában a K-nak bővítése. Azt is állítottuk (szintén pongyolán), hogy az f polinomnak már van gyöke Lben. Ez az állítás szó szerint értelmetlen, hiszen az f polinomba L elemeit be sem lehet helyettesíteni (maradékosztályok és K-beli elemek között nem értelmeztünk műveletet). De ez a probléma eltűnik, ha K helyett K^{∗}-ra gondolunk.

Ha f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n}x^{n}, akkor legyen f^{∗}(x) = a_{0}^{∗} + a_{1}^{∗}x + ⋯ + a_{n}^{∗}x^{n}. Az f^{∗} polinomnak már maradékosztályok az együtthatói, és ezért ebbe már tudunk maradékosztályokat helyettesíteni. Helyettesítsük be az α = x + (f) ∈ L elemet:

f^{∗}(α) = (a_{0}+(f))+(a_{1}+(f))(x+(f))+⋯+(a_{n}+(f))(x+(f))^{n} = a_{0}+a_{1}x+⋯+a_{n}x^{n}+(f) .

De ez épp f + (f) = 0 + (f), ami pedig L nulleleme. Ezért f^{∗}-nak α gyöke.

Ha most K-t és K^{∗}-ot azonosítjuk, akkor persze f is „azonosul” f^{∗}-gal, és ezért mondhatjuk azt, hogy L olyan bővítése K-nak, amiben már f-nek van gyöke. Ilyen azonosítások számtalan helyen előfordulnak, például az 1/2 és 2/4 törteket is azonosként kezeljük, és K elemeit is azonosítottuk K[x] konstans polinomjaival.

1. Készítsük el az alábbi faktorgyűrűk műveleti tábláit, majd soroljuk őket izomorfia-osz-tályokba. A 2ℤ a páros számok gyűrűjét, a 2ℤ_{16} pedig a ℤ_{16} gyűrű {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} részgyűrűjét jelöli.

ℤ_{8}/{0, 4}, ℤ_{16}/{0, 4, 8, 12}, ℤ_{4}/{0}, 2ℤ/(8), 2ℤ_{16}/(8), ℤ_{3}, 2ℤ/(6) .

2. Tekintsük azt az ℝ[x]/(x^{2} + 1) ≅ ℂ izomorfizmust, amelyet úgy kapunk, hogy a homomorfizmus-tételt alkalmazzuk az f ↦ f(i) homomorfizmusra. Mi az x + 1, x^{2}, ax + b polinomok maradékosztályainak a képe?

3. Legyen L = ℤ_{2}[x]/(x^{2} + x + 1). Határozzuk meg L elemszámát, írjuk fel az összeadási és a szorzástábláját, keressük meg benne a ℤ_{2}^{∗} résztestet, és (a fenti bevezető értelmében) adjuk meg L-ben az x^{2} + x + 1 polinom gyökeit. Mi lesz L elemeinek minimálpolinomja ℤ_{2}^{∗} felett?

4. Igazoljuk az alábbi állításokat.

a) ℝ[x]/(x^{2} − 1) ≅ ℂ̸, de ℝ[x]/(x^{2} + 2) ≅ ℂ.

b) ℚ[x]/(x^{2} − 2) ≅ \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℚ\}.

c) ℚ[x]/(x^{3} − 2) ≅ \{a + b\sqrt[3]{2} + c\sqrt[3]{4} | a, b, c ∈ ℚ\}.

d) ℤ[x]-nek van olyan faktorgyűrűje, ami test.

5. A ℚ[x]/(x^{2} + x + 1) gyűrűben mi az x + (x^{2} + x + 1) inverze?

6. Oldjuk meg a fenti 3. feladatot abban az esetben, amikor x^{2} + x + 1 helyett x^{3} + x + 1 szerepel. Keressünk ezzel a módszerrel kilenc elemű testet is.

7^{∗}. Mutassuk meg, hogy ha K test, akkor K^{n×n} egyszerű gyűrű.