Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Első alkalom

1. Az X halmazon megadott R relációról döntsük el, hogy ekvivalencia-reláció-e. Ha igen, adjuk meg a hozzá tartozó partíció osztályait.

a) X = ℤ, a R b ⟺ 1999 | b − a.

b) X = ℝ, a R b ⟺ |b − a| ≤ 1.

c) X = ℂ, a R b ⟺ |a| = |b|.

d) X a sík pontjai, P R Q akkor és csak akkor, ha van olyan A egybevágósági transzformáció, mely fixálja az origót, és melyre A(P) = Q.

e) X tetszőleges halmaz, f egy X-en értelmezett függvény, a R b ⟺ f(a) = f(b).

2. Határozzuk meg Lagrange tételének felhasználásával az S_{3} csoport összes részcsoportját, valamint az A_{4} alternáló csoport összes negyedrendű részcsoportját. Írjuk fel S_{3}-ban az {id, (12)} részcsoporthoz tartozó összes bal- és jobboldali mellékosztályt.

3. Az alábbi csoportoknak határozzuk meg a rendjét és az elemeiknek a rendjeit. a) Egy olyan téglalap szimmetriacsoportja, amely nem négyzet.

b) Egy olyan deltoid szimmetriacsoportja, amely nem rombusz.

c) Egy olyan rombusz szimmetriacsoportja, amely nem négyzet.

d) Egy négyzet szimmetriacsoportja.

4. Mutassuk meg, hogy ha A és B részcsoportok egy G csoportban, akkor AB akkor és csak akkor részcsoport, ha AB = BA.

5^{∗}. Mutassuk meg, hogy ha A és B részcsoportok G-ben, akkor |AB| = |A||B|/|A ∩ B|.

6. Legyen nℤ^{+} az n-nel osztható egész számok csoportja az összeadásra. Határozzuk meg |ℤ^{+} : nℤ^{+}| értékét.

7. Igazoljuk, hogy ha a G csoport minden elemének a négyzete az egységelem, akkor G Abel. Igaz-e az állítás négyzet helyett negyedik hatványra?

8. Mutassuk meg, hogy ha |g| és |h| relatív prímek, és gh = hg, akkor |gh| = |g||h|. Elhagyható-e a két feltétel valamelyike?

9^{∗}. Igazoljuk, hogy |G| pontosan akkor páros, ha G-ben van másodrendű elem.

10^{∗∗∗}. Bizonyítsuk be, hogy minden 15 rendű csoport ciklikus.

További gyakorló feladatok

11. Legyen G csoport, H részcsoportja G-nek és g ∈ G. Mutassuk meg, hogy a g^{−1}Hg komplexusszorzat is részcsoport, melynek rendje ugyanaz, mint H rendje. Igaz-e, hogy a Hg jobboldali mellékosztály G egy alkalmas részcsoportja szerinti baloldali mellékosztály is egyben?

12. Igazoljuk, hogy minden nem egyelemű véges csoportban van prímrendű elem.

13. Ciklikus-e a három-hatványadik komplex egységgyökök multiplikatív csoportja?