Matematikus gyakorlat, első évfolyam, első félév Első zárthelyi

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szerző és a gyakorlatvezető neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. Milyen u és v értékekre lesz a −2+2i többszörös gyöke az x^{1999} +ux+v polinomnak?

2. Számítsuk ki a ∑ ε_{j}^{3}ε_{k}ε_{ℓ} összeget, ahol ε_{1}, …, ε_{8} a huszonnegyedik primitív egységgyökök. Az összegezés az olyan 1 ≤ j, k, ℓ ≤ 8 páronként különböző indexekre történik, ahol k < ℓ.

3. Van-e olyan ötödfokú f ∈ ℤ[x] polinom, mely irreducibilis ℚ felett, nem az ℤ felett, és konstans tagja is, főtagja is 4?

4. Legyen n pozitív egész. Adjuk meg azt a legkisebb fokú komplex együtthatós polinomot, amely mindegyik n-edik komplex egységgyököt a konjugáltjába viszi.

5. Bontsuk ℤ felett irreducibilisek szorzatára a Φ_{35}(x^{3}) polinomot.

6. Legyen c ∈ ℂ rögzített komplex szám. Minden z ∈ ℂ komplex számra képezzük a z_{0} := z, z_{n+1} := z_{n}^{2} + c sorozatot, és álljon a J_{c} halmaz azon z komplex számokból, melyekre a fenti sorozat korlátos. Mutassuk meg, hogy J_{c} korlátos.