Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Kilencedik alkalom

1. Határozzuk meg a ℤ_{m}^{+} illetve ℤ_{m}^{×} csoportok elemeinek a rendjeit, ahol m = 7, 8, 12.

2. Határozzuk meg a g elem rendjét a G csoportban, ha (g, G) rendre (−1, ℝ^{+}), (−1, ℝ^{×}), (17, ℤ_{19}^{+}), (17, ℤ_{19}^{×}), (17, ℤ_{32}^{+}), (17, ℤ_{32}^{×}), (x + 1, ℤ_{11}[x]^{+}), (5, ℤ_{11}[x]^{×}).

3. Legyenek a, n, m pozitív egészek, és d = (a^{n}−1, a^{m}−1). Mutassuk meg, hogy o_{d}(a) | n, és hogy (a^{n} − 1, a^{m} − 1) = a^{(n,m)} − 1.

4. Legyen G csoport és g ∈ G. Igazoljuk az alábbiakat.

a) Ha G elemszáma véges, és legalább 2, akkor G-ben van prímrendű elem.

b) g akkor és csak akkor hatványa g^{k}-nak, ha (|g|, k) = 1.

5. Adjuk meg az alábbi permutációk ciklusfelbontását, rendjét, és számoljuk meg az inverziókat. Tegyük meg ugyanezt a ‘hátulról előre’ permutációval is.

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 5 & 6 & 1 & 4 & 3 & 8 & 7 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 7 & 6 & 4 & 8 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a & b & c & d & e \\ c & a & e & b & d \end{matrix} )

6. Adjuk meg az alábbi permutációk ciklusfelbontását, rendjét és előjelét.

(1234)(35)(1432)(35) =? (12345)^{−1}(234)(12345) =? [(12)(23)(34)]^{1999} =?

7. Bizonyítsuk be az (x_{1}x_{2} … x_{k}) = (x_{1}x_{k})(x_{1}x_{k−1}) … (x_{1}x_{3})(x_{1}x_{2}) összefüggést. Igazoljuk, hogy S_{n} minden eleme előáll legfeljebb n − 1 darab transzpozíció szorzataként. Van-e olyan elem, amihez legalább n − 1 transzpozíció kell? [Használjuk fel, hogy egy n pontú összefüggő gráfnak legalább n − 1 éle van.]

8. Bizonyítsuk be, hogy az S_{n} csoport minden eleme felírható egy olyan soktényezős szorzat alakjában, melynek minden tényezője (12) vagy (12 … n).

9^{∗}. Egy négy egység oldalú négyzetben 15 egységnégyzet helyezkedik el, ezekre rendre az 1 − 15 számok vannak írva. A tizenhatodik négyzet helye üres. A kis négyzetek mozgathatók vízszintesen és függőlegesen: az üres négyzet helyére bármelyik szomszédja betolható. A játék célja az, hogy egy véletlenszerűen összekevert állapotból visszaállítsuk az alapsorrendet, azaz azt, amelyben a számok sorfolytonosan, emelkedő sorrendben követik egymást, és az üres négyzet a legalsó sor jobb oldalán van. Bizonyítsuk be, hogy ez a visszaállítás nem lehetséges abból a helyzetből kiindulva, amely az alapsorrendtől csak abban tér el, hogy a 14-es és 15-ös számú négyzetet megcseréljük (az üres négyzet helye is ugyanaz).

10. Bizonyítsuk be, hogy minden páros permutáció előáll hármasciklusok szorzataként.

11. Mutassuk meg, hogy egy permutáció akkor és csak akkor hatványa egy ciklusnak, ha ciklusfelbontásában a ciklusok hossza azonos (az egyelemű ciklusokat nem írjuk ki).

12. Hány másodrendű elem van S_{5}-ben?

13. Adjuk meg az összes f ∈ S_{n} permutációt, melyre f ∘ (1, 2, …, n) = (1, 2, …, n) ∘ f.

14. Bizonyítsuk be, hogy f, g ∈ S_{n} esetén akkor és csak akkor létezik olyan h ∈ S_{n}, melyre f = h^{−1}gh, ha f diszjunkt ciklusokra való felbontásakor ugyanannyi, ugyanakkora hosszúságú ciklus keletkezik, mint amikor g-t bontjuk fel.