Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Nyolcadik alkalom

1. Döntsük el az alábbi φ : G_{1} → G_{2} leképezésekről, hogy művelettartóak-e. a) G_{1} = G_{2} = ℂ^{+}, φ(x) = |x| (abszolút érték).

b) G_{1} = G_{2} = ℂ^{×}, φ(x) = |x| (abszolút érték).

c) G_{1} = ℝ^{+}, G_{2} = ℝ^{×}, φ(x) = e^{x}.

d) G_{1} = ℝ^{+}, G_{2} = ℂ^{×}, φ(x) = cos x + i sin x.

e) G_{1} = ℤ_{100}^{+}, G_{2} = ℤ_{100}^{+}, φ(x) = 60x.

f) G_{1} = ℝ[x] mint gyűrű, G_{2} = ℂ mint gyűrű, φ(f) = f(i).

2. Bontsuk fel az x^{4}+x^{3}+x^{2}+1 polinomot irreducibilisek szorzatára ℤ_{2} felett, határozzuk meg a racionális gyökeit, és ezek alapján mutassuk meg, hogy ℚ felett irreducibilis.

3. Bontsuk az x^{12} − 1 polinomot irreducibilisek szorzatára ℤ, ℤ_{2}, ℤ_{3} és ℤ_{5} felett.

4. Legyen f(x, y) = x^{9} + x^{3}y^{3} + y^{2} + y ∈ ℂ[x, y], és jelölje ℂ(y) a ℂ[y] hányadostestét. a) Primitív-e f, mint ℂ[y] feletti polinom?

b) Következik-e a Schönemann-Eisenstein tételből, hogy f irreducibilis ℂ(y) felett?

c) Irreducibilis-e f a ℂ[x, y]-ban?

5. Igaz-e, hogy az a + bi (a, b ∈ ℤ) alakú számok alkotta gyűrű hányadosteste izomorf az a + bi (a, b ∈ ℚ) alakú számok testével?

További gyakorló feladatok

6. Mutassuk meg, hogy a mod m maradékképzés ℤ-ből ℤ_{m}-be művelettartó. Vezessük le ebből, hogy ℤ_{m} gyűrű. (Vö. körosztási jegyzet, 3. Fejezet eleje.)

7. Ha R és S gyűrűk, és φ : R → S gyűrűhomomorfizmus, akkor mutassuk meg, hogy a_{0} +a_{1}x+⋯+a_{n}x^{n} ↦ φ(a_{0})+φ(a_{1})x+⋯+φ(a_{n})x^{n} is homomorfizmus R[x]-ből S[x]-be.

8. Igazoljuk, hogy ha R kommutatív egységelemes gyűrű, akkor R[x][y] ≅ R[x, y].

9. Igazoljuk, annak felhasználásával, hogy π transzcendens, hogy az a_{0} + a_{1}π + ⋯ + a_{n}π^{n} alakú számok, ahol a_{1}, …, a_{n} ∈ ℚ, részgyűrűt alkotnak ℝ-ben, amely izomorf ℚ[x]-szel.

10. Mutassuk meg, hogy az f, g ∈ ℤ[x] polinomok ℤ[x]-beli legnagyobb közös osztója a következő módon határozható meg. Alkalmazzuk az euklideszi algoritmust ℚ felett, a kapott racionális együtthatós polinomot írjuk fel rh alakban, ahol r ∈ ℚ és h ∈ ℤ[x] primitív polinom. Határozzuk meg f és g együtthatóinak legnagyobb közös osztóját, az eredmény ennek a számnak a h-szorosa. Hogyan módosítható ez az eljárás, ha két ℂ[x, y]- beli polinom legnagyobb közös osztóját keressük?

11^{∗}. Kiegészítés a IV/13. feladathoz. Tegyük fel, hogy n egész alapponthoz keresünk interpolációs polinomot, és az itt felvett értékek maguk is egészek, de a kapott legfeljebb n − 1-edfokú interpolációs polinom mégsem egész együtthatós. Lehetséges-e, hogy az interpoláció egy magasabb fokú, de egész együtthatós polinommal is elvégezhető?

12. Általánosítsuk az interpolációt többváltozós polinomokra. Mutassuk meg, hogy véges test esetében minden véges sok változós függvény polinomfüggvény.

Érdemes még megoldani a körosztási jegyzetből a 3.9. és 3.12. Feladatokat is.