Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Hetedik alkalom

1. Az alábbi struktúrák gyűrűk-e? Ha igen, kommutatívak-e, egységelemesek-e, nullosztómentesek-e, testek-e? A kommutatív gyűrűkben határozzuk meg az invertálható elemeket.

a) \{a + bi | a, b ∈ ℚ\}, \{a + bi | a, b ∈ ℤ\}, \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ ℚ\}, \{a + b\sqrt[3]{2} | a, b ∈ ℚ\} a szokásos összeadásra és szorzásra nézve.

b) Tetszőleges Abel-csoport, a szorzást úgy definiáljuk, hogy minden szorzat nulla.

c) Egy X halmaz összes részhalmaza, ahol az összeadás a szimmetrikus differencia képzése, a szorzás pedig a metszetképzés.

2. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat.

a) Ha ∘ kétváltozós művelet egy A halmazon, akkor csak egy neutrális eleme lehet.

b) Ha e neutrális elem a ∘ kétváltozós asszociatív műveletre nézve, akkor minden elemnek legfeljebb egy (kétoldali) inverze lehet (e-re nézve).

c) Ha S gyűrű, és 0 az összeadás neutrális eleme (azaz S nulleleme), akkor tetszőleges s ∈ S esetén s ∗ 0 = 0 ∗ s = 0.

d) Egy egységelemes R gyűrű invertálható elemei a szorzásra nézve csoportot alkotnak.

3. Végezzük el ℤ_{17}-ben a 2/3 és az 5/12 osztásokat. Mutassuk meg, hogy ez egy test.

4. Mely m-ekre van ℤ_{m}[x]-ben olyan polinom, amelynek több gyöke van, mint a foka?

5. Határozzuk meg a legfeljebb negyedfokú irreducibilis polinomokat ℤ_{2} felett.

6. Irreducibilisek-e az alábbi polinomok?

a) ℤ_{2} felett x^{8} + x^{2} + 1, x^{5} + x + 1, x^{5} + x^{4} + x^{3} + 1, x^{5} + x^{3} + 1.

b) ℤ_{17} felett x^{2} + 1, x^{4} + 1, x^{8} + 1, x^{17} + 1, x^{17} + 2.

7. Adjunk meg egy olyan polinomot egy alkalmas test felett, melynek van olyan nyolcszoros u gyöke, hogy u a polinom deriváltjának is (pontosan) nyolcszoros gyöke. Igaz-e tetszőleges test felett, hogy ha egy elem egy polinomnak egyszeres gyöke, akkor a deriváltjának biztosan nem gyöke?

8. Mutassuk meg tetszőleges test felett, hogy ha az f polinomnak van többszörös tényezője (azaz g^{2} alakú osztója, ahol g nem konstans polinom) akkor (f, f′) ≠ 1. Mely p prímekre igaz, hogy x^{n} − 1-nek van többszörös tényezője ℤ_{p} felett?

9. Lehet-e egy ℚ illetve ℤ_{2} felett irreducibilis polinomnak többszörös gyöke egy nagyobb testben?

10. Legyen f ∈ ℤ[x] egy n-edfokú polinom, ahol n ≥ 1, p egy prímszám, és 0 < k < n. Legyen \overline{f} ∈ ℤ_{p}[x] az f modulo p véve. Az alábbi állítások közül melyek igazak?

a) Ha f irreducibilis ℤ felett, akkor \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett.

b) Ha \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett, akkor f irreducibilis ℤ illetve ℚ felett.

c) Ha \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett, és \overline{f} foka n, akkor f irreducibilis ℚ felett.

d) Ha f-nek van ℤ felett k-adfokú tényezője, akkor \overline{f}-nak is van k-adfokú tényezője.

e) Az előző állítás akkor, ha azt is tudjuk, hogy \overline{f} foka n. Adjunk az első Gauss-lemmára és a Schönemann-Eisenstein-tételre új bizonyítást a polinom mod p vizsgálatával.