Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Ötödik alkalom

Legyen n ≥ 1 és Φ_{n}(x) = (x − ξ_{1}) … (x − ξ_{k}), ahol ξ_{1}, …, ξ_{k} az összes primitív n-edik egységgyök (Φ_{n} az úgynevezett n-edik körosztási polinom, és φ(n) = k az Euler-függvény). Ekkor Φ_{n} ∈ ℤ[x], mert

∏_{d|n} Φ_{d}(x) = x^{n} − 1 .

1. Számítsuk ki Φ_{12}-t kétféleképpen, majd a prímhatvány-indexű körosztási polinomokat.

2. Mutassuk meg, hogy ha n > 1 páratlan, akkor Φ_{2n}(x) = Φ_{n}(−x).

3. Mutassuk meg, hogy ha f ∈ ℝ[x] és z ∈ ℂ, akkor z és \overline{z} ugyanannyiszoros gyöke f-nek. Igazoljuk, hogy páratlan fokú valós együtthatós polinomnak mindig van valós gyöke.

4. Mutassuk meg, hogy ℤ[x]-ben egy polinom akkor és csak akkor osztható egy egész számmal, ha minden együtthatója osztható vele. Határozzuk meg a ℂ, ℝ, ℚ, ℤ feletti polinomok körében az egységeket.

5. Bontsuk fel a 6(x^{2}−2)(x^{2}+1) polinomot ℂ, ℝ, ℚ, ℤ felett felbonthatatlanok szorzatára.

6. Adjuk meg a 2x^{3} + 3x + 5 polinom racionális gyökeit, és döntsük el, felbonthatatlan-e ez a polinom ℚ felett.

7. Felbonthatatlan-e ℤ[x]-ben az x^{4} + x + 1 polinom? És ℝ[x]-ben?

8. Irreducibilis-e x^{4} + 4 illetve x^{4} + 9 a ℚ felett?

9. Bontsuk fel az x^{4} − 10x^{2} + 1 polinomot ℝ felett felbonthatatlanok szorzatára (segítség a számoláshoz: a polinomnak gyöke a \sqrt{2} + \sqrt{3}). A kapott felbontást, és az alaptétel egyértelműségi állítását kihasználva adjuk meg a ℚ feletti felbontást is.

További gyakorló feladatok

10. Vezessük le a gyöktényező kiemelhetőségéről szóló állítást a maradékos osztás tételéből.

11. Állapítsuk meg az f(x) = 3x^{3} + 6x^{2} + 6x + 3 és a g(x) = 2x^{4} + 2x^{2} + 2 polinomok kitüntetett közös osztóját az euklideszi algoritmussal, és az eredményt írjuk fel (a szokásos visszahelyettesítési eljárással) fp + gq alakban, ahol p és q alkalmas polinomok. Függ-e az eredmény attól, hogy ezeket a polinomokat ℂ, ℝ vagy ℚ felett tekintjük-e?

12. Elvégezhető-e ℤ[x]-ben az x : 2 maradékos osztás?

13. Bizonyítsuk be, hogy a kitüntetett közös osztó asszociáltság erejéig egyértelmű.

14. Igazoljuk, hogy tetszőleges n ≥ 1 egészre ∑_{d|n} φ(d) = n. 15^{∗}. Határozzuk meg a körosztási polinomok felhasználásával rendre a 12-edik, 18-adik illetve 24-edik primitív egységgyökök összegét és szorzatát. Általánosítsuk a feladatot! 16^{∗}. Legyenek m | n pozitív egészek úgy, hogy n minden prímosztója osztja m-et is. Igazoljuk, hogy Φ_{n}(x) = Φ_{m}(x^{n/m}). Számítsuk ki ennek alapján a Φ_{n}(x) polinomokat, ha n = 36, 72, 144, 100.