Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Negyedik alkalom

1. Az alábbi p polinomot bontsuk homogén polinomok összegére, ezeket rendezzük lexikografikusan, és állapítsuk meg a p^{7} polinomban egyrészt a lexikografikusan legnagyobb tagot, másrészt a legnagyobb fokú tagok közül a lexikografikusan legnagyobb tagot. p(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = ix_{1}x_{2}x_{3}x_{4}^{2} −x_{1}^{2}x_{3}^{3} +3x_{1}^{3}x_{2} +πx_{1}^{2}x_{2}^{3} +x_{4} −x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3} +2x_{1}^{2}x_{2}x_{3}x_{4} −6x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{4} .

2. Egy 3-határozatlanú szimmetrikus polinom lexikografikusan legnagyobb tagja x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}. Lehet-e neki tagja x_{1}x_{2}^{3}x_{3}? Szerepelhet-e hatodfokú tag? Hány tag lehet legfeljebb? Amikor elemi szimmetrikusakkal írjuk fel, mi az eljárás első lépése?

3. Az első feladatban szereplő polinomba helyettesítsük be mindegyik x_{i} helyére a négy határozatlanú σ_{i} elemi szimmetrikus polinomot. Adjuk meg a kapott polinomnak egy olyan tagját, amelynek nem nulla az együtthatója.

4. Hányszoros gyöke az x^{4} −x^{3} −x+1 polinomnak az 1? A Horner-elrendezéssel végezzük a kiemelést.

5. Legyen f olyan n-edfokú, racionális együtthatós polinom, melynek i hatszoros gyöke. Lehet-e n = 10? Adjuk meg az összes ilyen polinomot, melynek foka 12.

6. Mely b ∈ ℂ értékekre van az x^{n} + bx^{k} + 1 polinomnak háromszoros gyöke?

7^{∗}. Az n-edfokú f ∈ ℂ[x] polinomnak nincs többszörös gyöke. Lehet-e legalább n-szeres gyöke az [f′]^{2} − ff′′ polinomnak?

8. Tegyük fel, hogy az f ∈ ℂ[x] polinom minden racionális helyen racionális értéket vesz fel. Következik-e ebből, hogy f racionális együtthatós? Igaz-e az állítás, ha „racionális” helyett mindenütt „egész” szerepel?

9. Osszuk el maradékosan az x^{3} − 2 polinomot 2x^{2} + 2x − 3-mal.

10. Mi lesz a maradék, ha az x^{4} + x^{2} + 1 polinomot elosztjuk x^{2} + x + 1-gyel? A kapott eredményt indokoljuk meg számolás nélkül is.

Gyakorló feladatok

11. A Horner elrendezés segítségével döntsük el, hogy az f(x) = x^{6} − 4x^{4} + x^{3} − x^{2} + 4 polinomnak gyöke-e a 2 szám, és írjuk is fel f(x)-et (x − 2)g(x) + f(2) alakban. Igazoljuk általánosan is, hogy a p(x) = (x − z)q(x) + p(z) felírásban a q együtthatói éppen a Hornerelrendezés alsó sorában szereplő számok.

12. A Lagrange interpoláció segítségével adjunk meg olyan polinomot, amelyre f(0) = 3, f(1) = 3, f(4) = 7 és f(−1) = 0.

13. Létezik-e olyan egész együtthatós f polinom, melyre f(10) = 400, f(14) = 440 és f(18) = 520?

14. Igaz-e, hogy szimmetrikus polinom minden homogén komponense is szimmetrikus?

15. Határozzuk meg az x^{6} + x^{5} + 5x^{4} + 4x^{3} + 8x^{2} + 4x + 4 polinom többszörös gyökeit a formális deriválás módszerével.

16. Mi a maradék, ha x^{64} + x^{54} + x^{14} + 1-et osztjuk x^{2} + 1-gyel illetve x^{2} − 1-gyel?