Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Harmadik alkalom

A gyökök és együtthatók közötti összefüggések. Ha f(x) = (x − x_{1}) … (x − x_{n}) = x^{n} − σ_{1}x^{n−1} + σ_{2}x^{n−2} + ⋯ + (−1)^{n}σ_{n}, akkor a σ_{k} együtthatókat az x_{i} elemi szimmetrikus polinomjainak nevezzük. A σ_{k} kiszámításához az x_{1}, …, x_{n} közül az összes lehetséges módon kiválasztunk k darabot, a kiválasztott x_{i}-ket összeszorozzuk, majd a kapott szorzatokat összeadjuk.

σ_{1}= x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}  \binom{n}{1} = n tag
σ_{k}= x_{1}x_{2} … x_{k} + …  \binom{n}{k}  tag
σ_{n}= x_{1}x_{2} … x_{n}  \binom{n}{n} = 1 tag.

1. Írjuk fel az x^{4} +4 polinomot gyöktényezős alakban, és ellenőrizzük beszorzással az eredményt. Hogyan lehetne ezt a polinomot valós együtthatós polinomok szorzatára bontani?

2. Mutassuk meg, hogy ha két n-edfokú komplex együtthatós polinom n (komplex) helyen megegyezik, és a főegyütthatóik egyenlők, akkor a polinomok is egyenlők.

3. Legyenek ε_{1}, …, ε_{n} az összes n-edik egységgyökök.

a) Bontsuk gyöktényezős alakra az x^{4} − 1 polinomot.

b) Bizonyítsuk be, hogy x^{n} − 1 = (x − ε_{1}) … (x − ε_{n}).

c) A gyökök és együtthatók összefüggése alapján számítsuk ki az n-edik egységgyökök összegét, négyzetösszegét és szorzatát.

d) Számítsuk ki az egységsugarú körbe írt szabályos n-szög egy csúcsából az összes többi csúcsba húzott szakaszok hosszának szorzatát.

4. Határozzuk meg a 2x^{4} + 2x + 3 polinom komplex gyökeinek összegét, szorzatát, négyzetösszegét, és a gyökök reciprokainak összegét.

5. Határozzuk meg az x^{n} + x + 1 polinom (komplex) gyökeinek köbösszegét, és a gyökök reciprokainak összegét (n ≥ 2).

6. Legyenek a, b, c az x^{3} + 3x + 1 polinom gyökei. Írjuk fel azt a harmadfokú polinomot, melynek gyökei a^{2}, b^{2}, c^{2}, illetve a + b, a + c, b + c.

7. Írjuk fel az elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként a ∑_{1≤i≠j≤n} x_{i}^{2}x_{j} összeget.

8^{∗}. Legyen f valós együtthatós polinom, mely minden valós helyen pozitív értéket vesz fel. Mutassuk meg, hogy f előáll két valós együtthatós polinom négyzetösszegeként.

Néhány eredmény

5. A reciprokösszeg −1, a köbösszeg n ≥ 3 esetén 3σ_{3} + σ_{1}^{3} − 3σ_{1}σ_{2}, vagyis az eredmény n = 2-re 2, n = 3-ra és 4-re −3, n ≥ 5-re 0.

6. x^{3} + 6x^{2} + 9x − 1 illetve x^{3} + 3x − 1.

7. σ_{1}σ_{2} − 3σ_{3}.