Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Második alkalom

1. Számítsuk ki (1 + i)^{1999} értékét. Mivel egyenlő 1 + \binom{n}{4} + \binom{n}{8} + \binom{n}{12} + … ?

2. Fejezzük ki cos x és sin x segítségével sin 7x-et. (Ötlet: a binomiális tétel segítségével számítsuk ki cos x + i sin x hetedik hatványát.)

3^{∗}. Hozzuk zárt alakra a sin x + sin 2x + ⋯ + sin nx összeget.

4. Döntsük el, melyek egységgyökök az alábbi számok közül. Mennyi ezek rendje? Mely n-ekre lesznek ezek a számok n-edik egységgyökök? És primitív n-edik egységgyökök?

1 , −1 , i , 1 + i , (1 + i)/\sqrt{2} , cos(\sqrt{2}π) + i sin(\sqrt{2}π) , cos(336^{∘}) + i sin(336^{∘}) .

5. Ha ε primitív 512-edik egységgyök, mennyi lehet o(−iε)?

6. Mutassuk meg, hogy ha n > 0 egész, ε ∈ ℂ, és ε^{n} = i, akkor 4 | o(ε) ≠ ∞.

7. Legyenek m és n pozitív egészek.

a) Hány közös gyöke van az x^{n} = 1 és x^{m} = 1 egyenleteknek?

b) Igazoljuk, hogy egy n-edik és egy m-edik egységgyök szorzata nm-edik egységgyök.

c) Mutassuk meg, hogy egy n-edik és egy m-edik primitív egységgyök szorzata akkor és csak akkor nm-edik primitív egységgyök, ha m és n relatív prímek.

8. Számítsuk ki az n-edik egységgyökök összegét, szorzatát és négyzetösszegét.

9. Mutassuk meg, hogy a z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} páronként különböző komplex számok akkor és csak akkor vannak egy körön vagy egyenesen, ha kettősviszonyuk, azaz a

(z_{1} z_{2} z_{3} z_{4}) = \frac{z_{3} − z_{1}}{z_{3} − z_{2}} / \frac{z_{4} − z_{1}}{z_{4} − z_{2}}

kifejezés valós szám.

10. Igazoljuk komplex számok felhasználásával Ptolemaiosz tételét: ha egy négyszög oldalainak hossza rendre a, b, c, d, átlóinak hossza pedig e és f, akkor ac + bd ≥ ef, és egyenlőség akkor és csak akkor áll, ha a négyszög húrnégyszög.

Megoldás az I/9. feladatra. Legyenek a háromszög csúcsai A, B, C, ε = cos 120^{∘} + i sin 120^{∘}, η = cos 60^{∘}+i sin 60^{∘}. A szabályos hatszög felrajzolásából látjuk, hogy η = 1+ε. Ha X jelöli az AB oldalra kifelé rajzolt szabályos háromszög középpontját, akkor az \overrightarrow{XB} vektort 120 fokkal elforgatva az \overrightarrow{Y B} adódik, azaz (B − X)ε = A − X, ahonnan

X = \frac{A − Bε}{1 − ε} , és hasonlóan Y = \frac{B − Cε}{1 − ε} , Z = \frac{C − Aε}{1 − ε} .

Azt kell belátni, hogy az \overrightarrow{XY} vektort 60^{∘}-kal elforgatva az \overrightarrow{XZ}-t kapjuk, azaz (Y − X)η = (Z − X). A fentieket behelyettesítve és 1 − ε-nal szorozva:

((B − Cε) − (A − Bε)) η = (C − Aε) − (A − Bε) .

Beírva, hogy η = 1 + ε, és átrendezve

A((−1 − ε + ε + 1) + B(1 + ε + ε(1 + ε) − ε) + C(−ε(1 + ε) − 1) = 0 .

Ez pedig teljesül, mert 1 + ε + ε^{2} = 0 (mint a hatszögről leolvasható), és így A, B és C együtthatója is nulla.