Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Tizenharmadik alkalom: gyakorló feladatok

1. Egy négyzetes mátrix felső (alsó) háromszög-mátrix, ha a fődiagonális alatti (feletti) elemek mindegyike 0. (Az a_{ij} elem a fődiagonális alatt van, ha i > j, a fődiagonális felett, ha i < j.) Bizonyítsuk be, hogy két felső háromszög-mátrix szorzata is felső háromszögmátrix. Mi áll a szorzat diagonálisában?

2. Az M és N mátrixok felcserélhetők, ha MN = NM. Határozzuk meg azokat az n×n-es mátrixokat tetszőleges test fölött, amelyek minden n × n-es mátrix-szal felcserélhetők.

3. Legyen M, N ∈ ℝ^{n×n}. Határozzuk meg az MN − NM nyomát. Bizonyítsuk be, hogy MN − NM = I_{n} lehetetlen. Igaz marad-e az állítás tetszőleges test fölött? És tetszőleges nulla karakterisztikájú test fölött?

4. Legyen M, N ∈ T^{n×n}, ahol T test. Mutassuk meg, hogy ha MN = M és NM = N, akkor mindkét mátrix idempotens (azaz N^{2} = N, illetve M^{2} = M).

5. Legyen M ∈ T^{n×n}, ahol T test. Bizonyítsuk be, hogy ha M idempotens, akkor N = I − M is az, és MN = NM = O.

6. Igazoljuk, hogy az M négyzetes mátrix akkor és csak akkor involúció, azaz M^{2} = I, ha (I + M)(I − M) = O.

7^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha M nilpotens (azaz négyzetes, és van olyan m természetes szám, amire M^{m} = O), akkor (I − M)-nek létezik inverze.

8^{∗∗}. Legyen f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{n−1}x^{n−1}, és ε_{j} a 2πj/n szöghöz tartozó n-edik egységgyök. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi, úgynevezett ciklikus determináns értéke

| \begin{matrix}a_{0} & a_{1} & … & a_{n−1} \\ a_{n−1} & a_{0} & … & a_{n−2} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{1} & a_{2} & … & a_{0} \end{matrix} | = f(ε_{0}) · f(ε_{1}) · . . . · f(ε_{n−1}) .

9^{∗}. Legyen p > 2 prím, és tekintsük az f(x) = a_{0} + a_{1}x + ⋯ + a_{p−2}x^{p−2} ≡ 0 (p) kongruenciát, ahol p ∤ a_{0}. Bizonyítsuk be, hogy ez akkor és csak akkor megoldható, ha

| \begin{matrix}a_{0} & a_{1} & … & a_{p−2} \\ a_{1} & a_{2} & … & a_{0} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{p−2} & a_{0} & … & a_{p−3} \end{matrix} | ≡ 0 (p) .

10. A rezultáns módszerével vezessük vissza az alábbi három egyenletrendszert egyismeretlenes egyenletre, és oldjuk is meg őket ℝ felett.

\{ \begin{matrix}(x − 1) · y^{2} & + & (x + 1) · y & − 2 = 0 \\ (x − 1) · y^{2} & + & x · y & − 1 = 0 \end{matrix} \{ \begin{matrix}(x − 1) · y^{2} & + & (x + 1) · y & − 1 = 0 \\ (x − 1) · y^{2} & + & x · y & − 1 = 0 \end{matrix} \{ \begin{matrix}x^{2} + 1 & = 2y \\ y^{2} + 1 & = 2z \\ z^{2} + 1 & = 2x \end{matrix}