Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Tizenegyedik alkalom

1. Számítsuk ki az alábbi determinánsokat az első sor szerinti kifejtéssel, majd az utolsó oszlop szerinti kifejtéssel, végül a harmadik determináns kivételével a felső háromszög alakra hozás módszerével is.

| \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} |  | \begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} |  | \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |  | \begin{matrix}3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix} |  | \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} |

2. Írjuk fel az általános kétszer kettes, majd a háromszor hármas determináns képletét a determináns definíciója alapján. Mutassuk meg, hogy a háromszor hármas determináns értéke nulla lesz, ha két oszlopa egyenlő. Mutassuk meg azt is, hogy a háromszor hármas determináns, mint a második oszlopvektorának függvénye, összegtartó.

3. Az ((a_{ij})) négyszer négyes mátrix determinánsának kiszámításakor mi lesz az alábbi tagok előjele: a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}, a_{13}a_{34}a_{41}a_{22}, a_{22}a_{41}a_{34}a_{13}?

4. Igazoljuk, hogy ha egy n × n-es mátrixban van egy m × k-as téglalap csupa nullákból, és m + k > n, akkor a mátrix determinánsa nulla.

5. Egy determináns egyik kifejtési tagját tükrözzük a determináns mellékátlójára. Hogyan változik meg a megfelelő permutációban az inverziók száma?

6. Bizonyítsuk be, hogy ha egy n-edrendű, komplex elemű determinánsban a_{ij} az a_{ji} konjugáltja minden i, j-re, akkor a determináns értéke valós.

7. Számítsuk ki az alábbi determinánsokat.

| \begin{matrix}1 & 2 & … & 2 \\ 2 & 2 & … & 2 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 2 & 2 & … & n \end{matrix} |  | \begin{matrix}1 & x_{1} & … & x_{1}^{n−1} \\ 1 & x_{2} & … & x_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 1 & x_{n} & … & x_{n}^{n−1} \end{matrix} |  | \begin{matrix}x & a & … & a \\ a & x & … & a \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a & a & … & x \end{matrix} |

8. Egy 1999 × 1999-es determináns minden sora számtani sorozat. Számítsuk ki a determinánst.

9. Egy determinánsban minden oszlopösszeg osztható héttel. Igazoljuk, hogy a determináns értéke is osztható héttel.

10. Van-e olyan 123456789 × 123456789-es mátrix, melyben csak a 0 és 1 számok szerepelnek, és determinánsa 2?

11. Legyen T test, A ∈ T^{k×k}, B ∈ T^{m×m}, X ∈ T^{k×m} és O az m×k-s nullmátrix. Rakjuk össze az M mátrixot ebből a négy blokkból a következőképpen:

M = ( \begin{matrix}A & X \\ O & B \end{matrix} )

Igazoljuk, hogy det(M) = det(A) det(B). Vezessük le ebből az állításból, hogy háromszögmátrix determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata. Vezessük le a kifejtési tételt is!