Alkalmazott matematikus szak, első évfolyam, első félév Első zárthelyi

Minden feladatot külön lapra írjunk, és mindegyik lapon legyen rajta a szerző és a gyakorlatvezető neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. Mely z komplex számokra teljesül, hogy |z − i| = Im(z + i)? Rajzoljuk is le a kapott halmazt a síkon.

2. Legyen M olyan 1999 × 1999-es mátrix, melyre M^{2} = −iM. Mennyi lehet M determinánsa? (Minden lehetségesnek gondolt értékre példamátrixot is kell adni.)

3. Legyen θ ∈ ℂ, melyre |θ| = 1. Bizonyítsuk be, hogy a z ↦ θ\overline{z} leképezés tengelyes tükrözés a komplex számsíkon.

4. Legyen ε = cos 120^{∘} + i sin 120^{∘} és η egy háromezredik primitív egységgyök. Mennyi lehet εη rendje? (Minden lehetségesnek gondolt értékre példát is kell adni.)

5. Számítsuk ki azt az n × n-es determinánst, melyben az i-edik sor j-edik eleme |i − j| − 1.

6. Egy n × n-es determinánsban az egyik kifejtési tagot tükrözzük a determináns mellékátlójára. Hogyan változik meg a megfelelő permutációban az inverziók száma?