Alkalmazott matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Kilencedik alkalom

A gyökök és együtthatók közötti összefüggések. Ha f(x) = (x − x_{1}) … (x − x_{n}) = x^{n} − σ_{1}x^{n−1} + σ_{2}x^{n−2} + ⋯ + (−1)^{n}σ_{n}, akkor a σ_{k} együtthatókat az x_{i} elemi szimmetrikus polinomjainak nevezzük. A σ_{k} kiszámításához az x_{1}, …, x_{n} közül az összes lehetséges módon kiválasztunk k darabot, a kiválasztott x_{i}-ket összeszorozzuk, majd a kapott szorzatokat összeadjuk.

σ_{1}= x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}  \binom{n}{1} = n tag
σ_{k}= x_{1}x_{2} … x_{k} + …  \binom{n}{k}  tag
σ_{n}= x_{1}x_{2} … x_{n}  \binom{n}{n} = 1 tag.

1. Határozzuk meg a 2x^{4} + 2x + 3 polinom komplex gyökeinek összegét, szorzatát, négyzetösszegét, és a gyökök reciprokainak összegét.

2. Határozzuk meg az x^{n} + x + 1 polinom (komplex) gyökeinek köbösszegét, és a gyökök reciprokainak összegét (n ≥ 2).

3. Legyenek a, b, c az x^{3} + 3x + 1 polinom gyökei. Írjuk fel azt a harmadfokú polinomot, melynek gyökei a^{2}, b^{2}, c^{2}, illetve a + b, a + c, b + c.

4. Írjuk fel az elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként a ∑_{1≤i≠j≤n} x_{i}^{2}x_{j} összeget.

5. Az alábbi p polinomot bontsuk homogén polinomok összegére, ezeket rendezzük lexikografikusan, és állapítsuk meg a p^{7} polinomban egyrészt a lexikografikusan legnagyobb tagot, másrészt a legnagyobb fokú tagok közül a lexikografikusan legnagyobb tagot.

p(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = ix_{1}x_{2}x_{3}x_{4}^{2} −x_{1}^{2}x_{3}^{3} +3x_{1}^{3}x_{2} +πx_{1}^{2}x_{2}^{3} +x_{4} −x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3} +2x_{1}^{2}x_{2}x_{3}x_{4} −6x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{4} .

6. Egy 3-határozatlanú szimmetrikus polinom lexikografikusan legnagyobb tagja x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}. Lehet-e neki tagja x_{1}x_{2}^{3}x_{3}? Szerepelhet-e hatodfokú tag? Hány tag lehet legfeljebb? Amikor elemi szimmetrikusakkal írjuk fel, mi az eljárás első lépése?

7. Az 5. feladatban szereplő polinomba helyettesítsük be mindegyik x_{i} helyére a négy határozatlanú σ_{i} elemi szimmetrikus polinomot. Adjuk meg a kapott polinomnak egy olyan tagját, amelynek nem nulla az együtthatója.

8. Igaz-e, hogy szimmetrikus polinom minden homogén komponense is szimmetrikus?

Néhány eredmény

2. A reciprokösszeg −1, a köbösszeg n ≥ 3 esetén 3σ_{3} + σ_{1}^{3} − 3σ_{1}σ_{2}, vagyis az eredmény n = 2-re 2, n = 3-ra és 4-re −3, n ≥ 5-re 0.

3. x^{3} + 6x^{2} + 9x − 1 illetve x^{3} + 3x − 1.

4. σ_{1}σ_{2} − 3σ_{3}.