Alkalmazott matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Hetedik alkalom

1. Az alábbi halmazokról döntsük el, polinomideálok-e, és főideálok-e. Ha igen, adjuk meg az összes generátorelemet.

a) ℝ[x]-ben a nullapolinom, valamint a legfeljebb huszadfokú polinomok.

b) ℝ[x]-ben a nullapolinom, valamint a legalább huszadfokú polinomok.

c) ℝ[x]-ben azok a polinomok, amelyeknek gyöke a 2.

d) ℝ[x]-ben azok a polinomok, amelyeknek gyöke az i.

e) ℂ[x]-ben azok a polinomok, amelyeknek gyöke az i.

f) ℝ[x]-ben az x^{6} + 2 polinommal osztható polinomok.

g) ℝ[x]-ben a p(x)x + q(x)(x + 1) alakú polinomok (p, q ∈ ℝ[x]).

h) ℚ[x]-ben a p(x)(x^{2} − 1) + q(x)(x^{2} − 3x + 2) alakú polinomok (p, q ∈ ℚ[x]).

i) ℤ[x]-ben azok a polinomok, amelyek konstans tagja hárommal osztható.

2. Állapítsuk meg az f(x) = x^{2} + 1 és a g(x) = 2x^{3} + 3 polinomok kitüntetett közös osztóját az euklideszi algoritmussal, és az eredményt írjuk fel (a számelméletben tanult visszahelyettesítési eljárással) fp + gq alakban, ahol p és q alkalmas polinomok.

3. Legyen f olyan n-edfokú, racionális együtthatós polinom, melynek i hatszoros gyöke. Lehet-e n = 10? Adjuk meg az összes ilyen polinomot, melynek foka 12.

4. Legyenek ε_{1}, …, ε_{n} az összes n-edik egységgyökök.

a) Bizonyítsuk be, hogy x^{n} − 1 = (x − ε_{1}) … (x − ε_{n}).

b) Számítsuk ki az egységsugarú körbe írt szabályos n-szög egy csúcsából az összes többi csúcsba húzott szakaszok hosszának szorzatát.

5. A Lagrange interpoláció segítségével adjunk meg olyan polinomot, amelyre f(0) = 3, f(1) = 3, f(4) = 7 és f(−1) = 0.

6. Tegyük fel, hogy az f ∈ ℂ[x] polinom minden racionális helyen racionális értéket vesz fel. Következik-e ebből, hogy f racionális együtthatós? Igaz-e az állítás, ha „racionális” helyett mindenütt „egész” szerepel?

7^{∗}. Létezik-e olyan f ∈ ℤ[x] polinom, melyre f(10) = 400, f(14) = 440 és f(18) = 520?

8^{∗}. Tegyük fel, hogy n egész alapponthoz keresünk interpolációs polinomot, és az itt felvett értékek maguk is egészek, de a kapott legfeljebb n − 1-edfokú interpolációs polinom mégsem egész együtthatós. Lehetséges-e, hogy az interpoláció egy magasabb fokú, de egész együtthatós polinommal is elvégezhető?

9. A Cardano-képlet felhasználásával oldjuk meg az alábbi egyenleteket a komplex számok között.

a) x^{3} − 6ix − i + 8 = 0. (A gyökök (1 + \sqrt{3}/2) + (1/2 + \sqrt{3})i, (1 − \sqrt{3}/2) + (1/2 − \sqrt{3})i, −2 − i, ehhez \sqrt{D} = ±(i/2 + 4), u = cos 30^{∘} + i sin 30^{∘}, v = 2(cos 60^{∘} + i sin 60^{∘}).)

b) x^{3} + 12x − 16i = 0. (D = 0, u = 2(cos 30^{∘} + i sin 30^{∘}), v = 2(cos 150^{∘} + i sin 150^{∘}), x^{3} + 12x − 16i = (x − 2i)^{2}(x + 4i), azaz a 2i kétszeres gyök.)

c) x^{3} − 21x + 20 = 0 (Számoljunk közelítőleg, scientific kalkulátorral végezve a trigonometrikus alakra való oda- és visszakonvertálást. Ekkor u = \overline{v} = \sqrt{7}(cos α + i sin α), ahol α ≈ 40.893^{∘}. Ha pontosan számolnánk ez 2 + i\sqrt{3} lenne. A gyökök 4, 1 és −5.)