Alkalmazott matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Hatodik alkalom

1. Az alábbi struktúrák gyűrűk-e? Ha igen, kommutatívak-e, egységelemesek-e, nullosztómentesek-e, testek-e? A kommutatív gyűrűkben határozzuk meg az invertálható elemeket.

a) Az a + bi alakú számok, ahol a, b ∈ ℚ, a szokásos összeadásra és szorzásra nézve.

b) Az a + bi alakú számok, ahol a, b ∈ ℤ, a szokásos összeadásra és szorzásra nézve.

c) Az a + b\sqrt{2} alakú számok, ahol a, b ∈ ℚ, a szokásos összeadásra és szorzásra nézve.

d) Az a + b\sqrt[3]{2} alakú számok, ahol a, b ∈ ℚ, a szokásos összeadásra és szorzásra nézve.

e) Tetszőleges kommutatív csoport, a szorzást úgy definiáljuk, hogy minden szorzat nulla legyen.

f) Egy X halmaz összes részhalmaza, ahol az összeadás a szimmetrikus differencia képzése (tehát Y + Z elemei azok, melyek Y és Z közül pontosan egyben vannak benne), a szorzás pedig a metszetképzés.

2. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat.

a) Ha ∘ kétváltozós művelet egy A halmazon, akkor csak egy neutrális eleme lehet.

b) Ha e neutrális elem a ∘ kétváltozós asszociatív műveletre nézve, akkor minden elemnek legfeljebb egy (kétoldali) inverze lehet (e-re nézve).

c) Ha S gyűrű, és 0 az összeadás neutrális eleme (azaz S nulleleme), akkor tetszőleges s ∈ S esetén s ∗ 0 = 0 ∗ s = 0.

d) Egy egységelemes R gyűrű invertálható elemei a szorzásra nézve csoportot alkotnak. Ennek jele a továbbiakban R^{×} lesz. Az R összeadásra vett csoportját R^{+} jelöli.

3. Végezzük el ℤ_{17}-ben a 2/3 és az 5/12 osztásokat. Mutassuk meg, hogy ez egy test.

4. Döntsük el az alábbi φ : G_{1} → G_{2} leképezésekről, hogy művelettartóak-e. a) G_{1} = G_{2} = ℂ^{+}, φ(x) = |x| (abszolút érték).

b) G_{1} = G_{2} = ℂ^{×}, φ(x) = |x| (abszolút érték).

c) G_{1} = ℝ^{+}, G_{2} = ℝ^{×}, φ(x) = e^{x}.

d) G_{1} = ℝ^{+}, G_{2} = ℂ^{×}, φ(x) = cos x + i sin x.

e) G_{1} az n × n-es komplex mátrixok a szorzásra, G_{2} = ℂ^{×}, φ(A) = det(A).

f) G_{1} = ℤ_{100}^{+}, G_{2} = ℤ_{100}^{+}, φ(x) = 60x.

g) G_{1} = ℝ[x]^{+}, G_{2} = ℂ^{+}, φ(f) = f(i).

5. Írjuk fel az összes legfeljebb negyedfokú polinomot ℤ_{2} felett, határozzuk meg a gyökeiket, és mindegyiket bontsuk fel szorzattá amennyire csak lehet.

Gyakorló feladatok

6. Mutassuk meg, hogy a mod m maradékképzés ℤ[x]-ből ℤ_{m}[x]-be művelettartó. Vezessük le ebből, hogy ℤ_{m} gyűrű. Határozzuk meg ℤ_{m} invertálható elemeit.

7. Legyen ∘ asszociatív művelet az A halmazon, és a, b, c, d, e ∈ A.

a) Mutassuk meg, hogy [(a ∘ b) ∘ (c ∘ d)] ∘ e = a ∘ [{(b ∘ c) ∘ d} ∘ e].

b)^{∗} Mutassuk meg, hogy tetszőleges szorzat értéke független a zárójelezéstől.

8^{∗}. Jelölje ℤ[\sqrt{2}] az a+b\sqrt{2} alakú számok gyűrűjét a ℂ-beli összeadásra és szorzásra, ahol a, b ∈ ℤ. Igazoljuk, hogy ebben végtelen sok invertálható elem van.