Alkalmazott matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Ötödik alkalom

1. Végezzük el az alábbi műveleteket a komplex együtthatós polinomok körében, és állapítsuk meg az eredmény fokát.

a) (x^{3} + 3x^{2} + 2) − (x^{3} + 3x − 4).

b) (x^{2} + ix + 3)(x^{2} + i).

2. Igazoljuk, hogy ha p, q és p+q nem nulla polinomok, akkor gr(p+q) ≤ max(gr(p), gr(q)). Mutassunk példát arra, amikor nem áll egyenlőség.

3. A Horner elrendezés segítségével döntsük el, hogy az f(x) = x^{6} − 4x^{4} + x^{3} − x^{2} + 4 polinomnak gyöke-e a 2 szám, és írjuk is fel f(x)-et (x − 2)g(x) + f(2) alakban.

4. Hányszoros gyöke az x^{4} −x^{3} −x+1 polinomnak az 1? A Horner-elrendezéssel végezzük a kiemelést.

5. Írjuk fel az x^{4} +4 polinomot gyöktényezős alakban, és ellenőrizzük beszorzással az eredményt. Hogyan lehetne ezt a polinomot valós együtthatós polinomok szorzatára bontani?

6. Osszuk el maradékosan az x^{3} − 2 polinomot 2x^{2} + 2x − 3-mal.

7. Mi lesz a maradék, ha az x^{4} + x^{2} + 1 polinomot elosztjuk x^{2} + x + 1-gyel? A kapott eredményt indokoljuk meg számolás nélkül is.

8. Igaz-e a 2x | 3x^{2} oszthatóság rendre a ℂ, ℝ, ℚ, ℤ feletti polinomok körében?

9. Mutassuk meg, hogy ℤ[x]-ben egy polinom akkor és csak akkor osztható egy egész számmal, ha minden együtthatója osztható vele. Határozzuk meg a ℂ, ℝ, ℚ, ℤ feletti polinomok körében az egységeket.

10. Határozzuk meg az x^{3} + x és az x^{4} + 2x^{2} + 1 polinomok gyöktényezős alakját, közös osztóit, és kitüntetett közös osztóját. Ugyanazt kapjuk-e ℂ illetve ℚ felett?

11. Bontsuk fel a 6(x^{2} − 2)(x^{2} + 1) polinomot ℂ, ℝ, ℚ, ℤ felett felbonthatatlanok szorzatára.

Gyakorló feladatok

12. Állapítsuk meg az f(x) = 3x^{3} + 6x^{2} + 6x + 3 és a g(x) = 2x^{4} + 2x^{2} + 2 polinomok kitüntetett közös osztóját az euklideszi algoritmussal, és az eredményt írjuk fel (a számelméletben tanult visszahelyettesítési eljárással) fp + gq alakban, ahol p és q alkalmas polinomok. Függ-e az eredmény attól, hogy ezeket a polinomokat ℂ, ℝ vagy ℚ felett tekintjük-e?

13. Mi a maradék, ha x^{64} + x^{54} + x^{14} + 1-et osztjuk x^{2} − 1-gyel illetve x^{2} + 1-gyel?

14. Elvégezhető-e ℤ[x]-ben az x : 2 maradékos osztás?

15. Egy egész együtthatós polinom minden egész helyen páros értéket vesz fel. Igaz-e, hogy a polinom osztható kettővel (mint konstans polinommal)?

16. Tegyük fel, hogy f és g ≠ 0 egész együtthatós polinomok. Igaz-e, hogy g akkor és csak akkor osztója f-nek ℤ[x]-ben, ha az f : g maradékos osztást ℚ[x]-ben elvégezve a hányados egész együtthatós, és a maradék nulla?