Alkalmazott matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Negyedik alkalom

1. Számítsuk ki az alábbi determinánsokat az első sor szerinti kifejtéssel, majd (a harmadik determináns kivételével) az utolsó oszlop szerinti kifejtéssel és a felső háromszög alakra hozás módszerével is.

| \begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix} |  | \begin{matrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 5 & 9 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix} |  | \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |  | \begin{matrix}3 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 3 \end{matrix} |  | \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix} |

2. Adjuk meg az alábbi permutációk inverziószámát, és előjelét.

( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 5 & 6 & 1 & 4 & 3 & 8 & 7 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 5 & 7 & 6 & 4 & 8 & 3 & 2 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}a & b & c & d & e \\ c & a & e & b & d \end{matrix} )

3. Írjuk fel az általános kétszer kettes, majd a háromszor hármas determináns képletét a determináns definíciója alapján.

4. Az ((a_{ij})) négyszer négyes mátrix determinánsának kiszámításakor mi lesz az alábbi tagok előjele: a_{13}a_{22}a_{31}a_{44}, a_{13}a_{34}a_{41}a_{22}, a_{22}a_{41}a_{34}a_{13}?

5. Írjuk fel az 1. feladatban szereplő második mátrix inverzét a ferde kifejtési tétel alapján.

6. Igazoljuk, hogy ha egy n × n-es mátrixban van egy m × k-as téglalap csupa nullákból, és m + k > n, akkor a mátrix determinánsa nulla.

7. Bizonyítsuk be, hogy ha egy n-edrendű, komplex elemű determinánsban a_{ij} az a_{ji} konjugáltja minden i, j-re, akkor a determináns értéke valós.

8. Számítsuk ki az alábbi determinánsokat.

| \begin{matrix}1 & 2 & … & 2 \\ 2 & 2 & … & 2 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 2 & 2 & … & n \end{matrix} |  | \begin{matrix}1 & x_{1} & … & x_{1}^{n−1} \\ 1 & x_{2} & … & x_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 1 & x_{n} & … & x_{n}^{n−1} \end{matrix} |  | \begin{matrix}x & a & … & a \\ a & x & … & a \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a & a & … & x \end{matrix} |

9. Egy 1999 × 1999-es determináns minden sora számtani sorozat. Számítsuk ki a determinánst.

10. Egy determinánsban minden oszlopösszeg osztható héttel. Igazoljuk, hogy a determináns értéke is osztható héttel.

11. Legyen A egész számokból álló négyzetes mátrix. Igazoljuk, hogy A^{−1} akkor és csak akkor áll csupa egész számból, ha det A értéke 1 vagy −1.

12. Legyen A ∈ ℂ^{k×k}, B ∈ ℂ^{m×m}, X ∈ ℂ^{k×m} és O az m × k-s nullmátrix. Rakjuk össze az M mátrixot ebből a négy blokkból a következőképpen:

M = ( \begin{matrix}A & X \\ O & B \end{matrix} )

Igazoljuk, hogy det(M) = det(A) det(B).