Alkalmazott matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Harmadik alkalom

Az M = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) mátrix nyoma tr(M) = a + d, determinánsa pedig det(M) = ad − bc.

Az egységmátrix az I = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ), a nullmátrix pedig az O = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ). Két mátrixot úgy adunk össze, hogy a megfelelő komponenseket összeadjuk; skalárral mátrixot úgy szorzunk, hogy a mátrix minden komponensét megszorozzuk ezzel a skalárral.

1. Számítsuk ki az alábbi mátrix-szorzatokat.

( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )^{2} ,  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )^{2} ,  ( \begin{matrix}cos α & − sin α \\ sin α & cos α \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}cos β & − sin β \\ sin β & cos β \end{matrix} ) .

Szorozzunk össze két általános, csupa egyesekből álló mátrixot is (amikor lehet). Keressünk olyan kétszer kettes nem nulla mátrixot, melynek négyzete nulla.

2. Igazoljuk, hogy ha M és N kétszer kettes mátrixok, akkor det(MN) = det(M) det(N).

3. Végezzük el az

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) · \frac{1}{ad − bc} ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} )

szorzást. Fogalmazzuk meg, mely kétszer kettes mátrixoknak van inverze.

4. Bizonyítsuk be, hogy ha A^{−1} és B^{−1} léteznek, akkor (AB)^{−1} = B^{−1}A^{−1}.

5. Mutassuk meg, hogy ha M kétszer kettes mátrix, akkor M^{2} −tr(M)M +det(M)I = O.

6. Megoldható-e a kétszer kettes valós mátrixok körében az X^{2} = −I egyenlet? Adjuk meg az X^{2} = I egyenlet összes megoldását.

7. Bizonyítsuk be, hogy ha A nilpotens (azaz négyzetes, és van olyan m természetes szám, amire A^{m} = O), akkor (I − A)-nak létezik inverze.

8. Határozzuk meg az AB − BA nyomát. Bizonyítsuk be, hogy AB − BA = I lehetetlen. További gyakorló feladatok

9. Mutassuk meg, hogy ha AB = A és BA = B, akkor mindkét mátrix idempotens (azaz A^{2} = A, illetve B^{2} = B).

10. Bizonyítsuk be, hogy ha A idempotens, akkor B = I − A is az, és AB = BA = O.

11. Igazoljuk, hogy A akkor és csak akkor involúció, azaz A^{2} = I, ha (I + A)(I − A) = O.

12. Bizonyítsuk be, hogy n × n-es szimmetrikus A és B mátrixokra AB pontosan akkor szimmetrikus, ha AB = BA.

13. Egy négyzetes mátrix felső (alsó) háromszög mátrix, ha a fődiagonális alatti (feletti) elemek mindegyike 0. (Az a_{ij} elem a fődiagonális alatt van, ha i > j, a fődiagonális felett, ha i < j.) Bizonyítsuk be, hogy két felső háromszög mátrix szorzata is felső háromszögmátrix. Mi áll a szorzat diagonálisában?

14. Az M és N mátrixok felcserélhetők, ha MN = NM. Határozzuk meg azokat az n × n-es mátrixokat, amelyek minden n × n-es mátrix-szal felcserélhetők.