Alkalmazott matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Második alkalom

1. Adjuk meg az x^{8} = \sqrt{3} − i, x^{6} = 1 + i, x^{n} = −1 egyenletek összes megoldását.

2. Számítsuk ki (1 + i)^{1999} értékét. Mivel egyenlő 1 + \binom{n}{4} + \binom{n}{8} + \binom{n}{12} + … ?

3. Fejezzük ki cos x és sin x segítségével sin 7x-et. (Ötlet: a binomiális tétel segítségével számítsuk ki cos x + i sin x hetedik hatványát.) 4^{∗}. Hozzuk zárt alakra a sin x + sin 2x + ⋯ + sin nx összeget.

5. Döntsük el, melyek egységgyökök az alábbi számok közül. Mennyi ezek rendje? Mely n-ekre lesznek ezek a számok n-edik egységgyökök? És primitív n-edik egységgyökök? 1 , −1 , i , 1 + i , (1 + i)/\sqrt{2} , cos(\sqrt{2}π) + i sin(\sqrt{2}π) , cos(336^{∘}) + i sin(336^{∘}) .

6. Ha ε rendje osztható néggyel, mi lesz −ε rendje?

7. Ha ε primitív 512-edik egységgyök, mennyi lehet o(−iε)?

8. Mutassuk meg, hogy ha n > 0 egész, ε ∈ ℂ, és ε^{n} = i, akkor 4 | o(ε) ≠ ∞.

9. Mutassuk meg, hogy ha n páratlan pozitív egész, akkor a 2n-edik primitív egységgyökök épp az n-edik primitív egységgyökök ellentettjei. (Először kis n számokra ellenőrizzük).

10. Szorozzuk össze a hatodik egységgyököket a negyedik egységgyökökkel az összes lehetséges módon. Hány különböző számot kapunk?

11. Legyenek m és n pozitív egészek.

a) Hány közös gyöke van az x^{n} = 1 és x^{m} = 1 egyenleteknek?

b) Igazoljuk, hogy egy n-edik és egy m-edik egységgyök szorzata nm-edik egységgyök.

c) Mutassuk meg, hogy egy n-edik és egy m-edik primitív egységgyök szorzata akkor és

csak akkor nm-edik primitív egységgyök, ha m és n relatív prímek.

12. Számítsuk ki az n-edik egységgyökök összegét, szorzatát és négyzetösszegét.

13. Határozzuk meg a primitív tizenkettedik egységgyökök összegét és szorzatát. Megoldás az I/9. feladatra. Legyenek a háromszög csúcsai A, B, C, ε = cos 120^{∘} + i sin 120^{∘}, η = cos 60^{∘}+i sin 60^{∘}. A szabályos hatszög felrajzolásából látjuk, hogy η = 1+ε. Ha X jelöli az AB oldalra kifelé rajzolt szabályos háromszög középpontját, akkor az \overrightarrow{XB} vektort 120 fokkal elforgatva az \overrightarrow{Y B} adódik, azaz (B − X)ε = A − X, ahonnan

X = \frac{A − Bε}{1 − ε} , és hasonlóan Y = \frac{B − Cε}{1 − ε} , Z = \frac{C − Aε}{1 − ε} .

Azt kell belátni, hogy az \overrightarrow{XY} vektort 60^{∘}-kal elforgatva az \overrightarrow{XZ}-t kapjuk, azaz (Y − X)η = (Z − X). A fentieket behelyettesítve és 1 − ε-nal szorozva:

((B − Cε) − (A − Bε)) η = (C − Aε) − (A − Bε) .

Beírva, hogy η = 1 + ε, és átrendezve

A((−1 − ε + ε + 1) + B(1 + ε + ε(1 + ε) − ε) + C(−ε(1 + ε) − 1) = 0 .

Ez pedig teljesül, mert 1 + ε + ε^{2} = 0 (mint a hatszögről leolvasható), és így A, B és C együtthatója is nulla.