Alkalmazott matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Tizenegyedik alkalom

1. Lineárisan függetlenek-e az alábbi vektorrendszerek? Ahol a válasz nemleges, ott adjuk meg a vektorrendszer azon elemeit, amelyek kifejezhetők a többi vektor lineáris kombinációjaként.

a) Az ℝ feletti ℝ^{3} vektortérben az alábbi mátrixok oszlopvektorai (ez öt különböző vektorrendszer).

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 0 & 6 \\ 2 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

b) Az ℝ feletti ℂ vektortérben {1 + i, 2 + i, 3 + 2i}.

c) A ℂ feletti ℂ vektortérben {1 + i, 2 + i, 3 + 2i}.

d) Az ℝ feletti ℝ[x] vektortérben {1, x, x^{2}}, {x, 2x, x^{2}, x^{3}}, {1 + x, 1 + 2x, 1 + 3x}, {1 + x, 1 + x^{2}, x + x^{2}} (ez négy különböző vektorrendszer).

e) Az ℝ feletti ℝ^{3×3} vektortérben az a) pontban felsorolt öt mátrix.

f) Az ℝ → ℝ függvények ℝ feletti vektorterében {x, sin x, cos x}, {x, 2, 10^{x}, x + 1, 20^{x}}, {sin x + cos x, 2 sin x + 3 cos x, sin x − cos x}.

g) A valós számsorozatok ℝ feletti vektorterében {P, N}, ahol P a prímszámok sorozata, azaz P = (2, 3, 5, 7, 11, …), az N pedig a pozitív egészeké, azaz N = (1, 2, 3, …).

2. Az alábbi állítások közül melyek igazak?

a) Ha egy vektorrendszerben szerepel a nullvektor, akkor az nem lehet független.

b) Az egy vektorból álló rendszer mindig független.

c) Ha {v_{1}, v_{2}, v_{3}} független, akkor tetszőleges v-re {v_{1} + v, v_{2} + v, v_{3} + v} is független.

d) Ha {v_{1}, v_{2}, v_{3}} független, akkor {v_{1} + v_{2}, v_{2}, v_{3}} is független.

e) Ha {v_{1}, v_{2}, v_{3}} független, akkor {v_{1} + 2v_{2}, 2v_{2} − v_{1}, v_{3} + v_{2} + v_{1}} is független.

3. Tegyük fel, hogy egy vektortér a, b, c, d vektoraira {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d} mindegyike összefüggő, de {a, b, c} független. Határozzuk meg d-t.

4. Vektortér-e a W ⊆ V halmaz a V vektortér műveleteire nézve az alábbi esetekben? a) V = ℚ[x] a ℚ test felett, W a páros fokú polinomok, és a zéruspolinom.

b) V a komplex számok vektortere ℝ felett, és W = {z | Re(z) = 0}.

c) V a komplex számok vektortere ℂ felett, W ugyanaz, mint az előbb.

d) V a valós számok vektortere ℝ felett, és W a nemnegatív valós számok halmaza.

e) V a sík ℝ felett, W pedig az első és harmadik síknegyed uniója.

f) V a valós számsorozatok ℝ felett, W pedig a periódikus sorozatok.

g) V a valós számsorozatok ℝ felett, W pedig a monoton növő sorozatok.

h) V az ℝ → ℝ függvények ℝ felett, W pedig a periódikus függvények.

i) V az ℝ → ℝ függvények ℝ felett, W pedig a felülről korlátos függvények.

5. Legyen V = {a, b}, definiáljuk az „összeadást” úgy, hogy a + a = a + b = b + a = a, és b + b = b. Definiáljuk továbbá tetszőleges λ ∈ ℝ és v ∈ V esetén λv-t v-nek. Mely vektortéraxiómák teljesülnek? Igaz-e, hogy (−1)v ellentettje v-nek minden v ∈ V -re? Az általános vektorterekben érvényes (−1)v = −v összefüggés bizonyításában hol használtuk ki, hogy V -ben létezik ellentett?