Alkalmazott matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Tizedik alkalom

1. Deriváljuk az x^{3} + x^{2} − x − 1 polinomot, állapítsuk meg az euklideszi algoritmussal a deriváltjával vett legnagyobb közös osztóját, és a többszörös gyökeit.

2. Lehet-e az x^{n} + bx^{k} + 1 polinomnak (n > k > 0, b ∈ ℂ) háromszoros gyöke?

3. Adjuk meg Gauss-eliminációval az alábbi egyenletrendszerek általános megoldását. Az első egyenletrendszer mely megoldásában minimális az ismeretlenek négyzetösszege?

\begin{aligned}2 & x & − & 3 & y & + & 6 & z & = & 14 \\ −3 & x & & & & + & 2 & z & = & 3 \\ & x & − & 6 & y & + & 14 & z & = & 31 \end{aligned}  \begin{aligned}HF: & & x & − & y & + & z & + & & t & = & 2 \\ & −3 & x & & & & & + & 3 & t & = & 0 \\ & −2 & x & − & y & + & z & + & 4 & t & = & 2 \\ & 4 & x & − & y & + & z & − & 2 & t & = & 2 \end{aligned}

4. Tekintsünk egy n ismeretlenes, m egyenletből álló, ℝ feletti lineáris egyenletrendszert, melynek t (valós) megoldása van (t = ∞ is lehetséges). Töltsük ki az alábbi táblázatokat: I jelentse azt, hogy ilyen eset előfordulhat, N pedig azt, hogy nem.

Általános t = 0 t = 1 t = ∞

n < m n = m n > m

Homogén  t = 0  t = 1  t = ∞ n < m n = m n > m

5. Van-e olyan egész együtthatós lineáris egyenletrendszer, ami ℚ felett ellentmondásos, ℤ_{2} felett egynél több megoldása van, és ℤ_{3} felett pontosan 1?

6. Ha egy ℚ feletti homogén lineáris egyenletrendszernek van nemtriviális komplex megoldása, akkor hány racionális megoldása van? Ha egy ℝ feletti lineáris egyenletrendszernek van komplex, nem valós megoldása, akkor hány valós megoldása van?

7. Egy valós együtthatós lineáris egyenletrendszernek az összes ℝ-beli megoldása racionális szám. Szükségképpen racionálisak-e az együtthatók? Hány megoldása lehet ℂ felett?

8. Adott n szám úgy, hogy közülük bármely n − 1 összege 1999. Melyek ezek a számok? HF: adott a ≠ b számok esetén oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

a x_{1} + a x_{2} + … + a x_{n−1} + b x_{n} = 1
a x_{1} + a x_{2} + … + b x_{n−1} + a x_{n} = 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b x_{1} + a x_{2} + … + a x_{n−1} + a x_{n} = n

9^{∗}. Egy n-szög csúcsaira számokat akarunk úgy írni, hogy bármelyik csúcsból induljunk is el a sokszög mentén, a sorra következő m szám összege 1 legyen. Mely m és n értékek esetén lehetséges ez úgy, hogy valamelyik csúcsra 1/m-től különböző szám kerüljön?

10. Határozzuk meg az x^{6} + x^{5} + 5x^{4} + 4x^{3} + 8x^{2} + 4x + 4 polinom többszörös gyökeit a formális deriválás módszerével.

11^{∗}. Az n-edfokú f ∈ ℂ[x] polinomnak nincs többszörös gyöke. Lehet-e legalább n-szeres gyöke az [f′]^{2} − ff′′ polinomnak?