Matematikus gyakorlat, első évfolyam első félév Első alkalom

1. Végezzük el az alábbi műveleteket: (1 + i)(3 − 2i), 1/i, (1 + i)/(3 − 2i), |\overline{(4 + i)}/(4 + i)|.

2. Oldjuk meg az alábbi egyenleteket.

a) x^{2} + 2x + 2 = 0.

b) x^{2} + 2ix − 1 = 0.

3. Határozzuk meg azokat a c + di számokat, melyek négyzete 20i − 21. Oldjuk meg az x^{2} + (i − 2)x + (6 − 6i) = 0 egyenletet.

4. Hol a hiba a következő levezetésben?

1 = \sqrt{1} = \sqrt{(−1) · (−1)} = \sqrt{−1} · \sqrt{−1} = i · i = −1

5. Rajzoljuk le az alábbi halmazokat a komplex számsíkon.

\{z ∈ ℂ : Re(z + i) > 1\} , \{z ∈ ℂ : |z| = iz\} , \{z ∈ ℂ : \frac{1}{z} = \overline{z}\} , \{z ∈ ℂ : |z − i| ≤ 3\}

\{z ∈ ℂ : |z − i − 1| = |z + 2|\} , \{z ∈ ℂ : Im\frac{z − 1}{z + 1} = 0\} , \{z ∈ ℂ : Re\frac{z − 1}{z + 1} = 0\}

6. Írjuk fel az alábbi számokat trigonometrikus alakban: 1 + i, 1 − i, \sqrt{3} + i, −1 − \sqrt{3}i.

7. Oldjuk meg az x^{3} = 1 és az x^{4} = −4 egyenleteket a komplex számok között.

8. Legyenek z és w különböző komplex számok. Írjuk fel az őket összekötő szakasz felezőpontját, valamint annak a két szabályos háromszögnek a harmadik csúcsát, illetve a középpontját, melyeknek az adott két szám két csúcsa.

9. Írjunk egy háromszög mindegyik oldalára kifelé egy szabályos háromszöget. Igazoljuk, hogy ezek középpontjai szabályos háromszöget alkotnak.

10^{∗∗}. Tekintsük az

f(z) = \frac{az + b}{cz + d} ad − bc ≠ 0, a, b, c, d ∈ ℂ

leképezést a komplex síkon. Mutassuk meg, hogy ez pontosan akkor képzi a {z : |z| < 1} halmazt (az egységkör belsejét) önmagára, ha a következő alakban írható:

f(z) = k \frac{z − α}{1 − \overline{α}z} |k| = 1, |α| < 1, k, α ∈ ℂ .

Gyakorló feladatok

11. Melyik természetes számmal egyenlő \sqrt[3]{7 + 5\sqrt{2}} + \sqrt[3]{7 − 5\sqrt{2}}?

12. Hozzuk ki az x^{3}−21x+20 = 0 egyenlet összes (valós) megoldását a Cardano-képletből.

13. Számítsuk ki az ax^{3} +bx^{2} +cx+d = 0 (a ≠ 0) egyenlet esetében azokat a w értékeket, melyekre az x → x + w helyettesítés eltünteti az x illetve az x^{2} együtthatóját.

14. Egy négyszög oldalaira kifelé négyzeteket rajzolunk. Kössük össze az átellenes oldalakra rajzolt négyzetek középpontjait. Mutassuk meg, hogy az így kapott két szakasz merőleges, és egyenlő hosszú.