Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Második zárthelyi

A feladatokat külön lapra írjuk, és minden lapon legyen rajta olvashatóan a szerző és a gyakvezér neve. Az összesen 36 + ∞ pontból 30 biztosan elég a jeleshez, 12 az elégségeshez, feltéve ha van lényegében megoldott feladat (azaz amelyik legalább 5 pontot kapott). Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont.

1. (6 pont) Keressük meg a 6+3i és a 10 Gauss-egészek összes kitüntetett közös osztóját, és ezek egyikét állítsuk elő α · (6 + 3i) + β · 10 alakban, ahol α és β Gauss-egészek.

2. (6 pont) Igazoljuk, hogy a 2 primitív gyök mod 13, vezessük vissza az x^{100} ≡ 3 (13) kongruenciát lineáris kongruenciára, majd adjuk meg az összes megoldását.

3. (6 pont) Oldjuk meg a φ(2x) = x − 1 egyenletet a pozitív egész számok körében.

4. (6 pont) Mely b egészekre igaz, hogy 363 | b^{112} − b^{2}?

5. (2+4 pont) Legyenek a ≠ 0 egész, és n, m > 1 egészek, melyekre (a, m) = 1 és n | m. a) Igazoljuk, hogy o_{n}(a) | o_{m}(a).

b) Mely a és n értékek esetén igaz, hogy o_{n}(a) = o_{k}(a) teljesül az n mindegyik olyan k > 0 többszörösére, amely a-hoz relatív prím?

6. (6 pont) Legyen p egy 4k + 1 alakú (pozitív egész) prímszám. Előáll-e 5p két relatív prím négyzetszám összegeként? A feladat (bebizonyított) általánosításáért pluszpont jár.