Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Első zárthelyi

A feladatokat külön lapra írjuk (egy n lapból álló dolgozat pontszáma maximum 6n lehet), és minden lapon legyen rajta olvashatóan a szerző és a gyakvezér neve. Az összesen 36 pontból 30 biztosan elég a jeleshez, 12 az elégségeshez, feltéve ha van lényegében megoldott feladat (azaz amelyik legalább 5 pontot kapott). Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont.

1. (6 pont) Határozzuk meg az x^{5} + 2x + 2 többszörös gyökeit ℂ-ben.

2. (4+2 pont) Határozzuk meg a Φ_{15} körosztási polinom együtthatóit, és számítsuk ki a tizenötödik primitív egységgyökök összegét.

3. (6 pont) Írjunk fel egy olyan harmadfokú egész együtthatós polinomot, amely ℤ felett nem felbonthatatlan, de ℚ felett igen, és ha modulo 2 vesszük, akkor a kapott polinom ℤ_{2} felett nem konstans, és reducibilis.

4. (6 pont) Felbonthatatlan-e ℤ[x]-ben x^{7} + 7x + 6?

5. (6 pont) Irreducibilis-e ℚ felett x^{4} + 2x^{2} + 4?

6. (6 pont) Legyenek a, b, c az x^{3} + 2x^{2} + 2x + 2 harmadfokú polinom komplex gyökei. Írjuk fel azt a normált, harmadfokú, komplex együtthatós polinomot, amelynek gyökei a^{2} + b^{2}, a^{2} + c^{2}, b^{2} + c^{2}.