Mat-tanári szak, első évfolyam, második félév Vizsgadolgozat — 1998. június 18.

Minden kérdéscsoportot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző és a gyakorlatvezető neve. Aki felírja az email címét is, annak a javító igyekszik mihamarabb az eredményét emailben elküldeni. Eredményhirdetés: június 23 (kedd), délelőtt 11, az Algebra Tanszék környékén.

Valamennyi megoldásban indoklás (azaz bizonyítás vagy ellenpélda) szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. A kétpontos kérdésekre a válasz általában mindössze egy-két sor, ami sokszor csak egy hivatkozás egy tételre (ez lehet olyan is, amit az előadáson nem bizonyítottunk) vagy egy definícióra. Ne keressünk hosszú, vagy trükkös megoldásokat. A két pont a teljesen helyes és precíz válaszért jár. Aki hibázik, de a lényeget látja, az egy pontot kap, ha a lényeg hiányzik, nulla pontot.

A vizsgán az átmenés szükséges és elégséges feltétele: Lényegében helyesen (azaz apróbb hibáktól eltekintve) le kell írni az első feladatban a bizonyítást, ÉS meg kell szerezni a dolgozat összpontszámának felét. Jeles az összpontszám 80 százalékáért jár (ha megvan a bizonyítás is).

1. (10 pont)

Mutassuk meg, hogy minden n > 0 egészre végtelen sok prímszám van az nk + 1 sorozatban (k = 1, 2, …). Bizonyítás nélkül használhatók az elemrendnek, a polinomok deriválásának, valamint a körosztási polinomoknak az alapvető tulajdonságai, az összes többi segédállítást bizonyítani kell.

2 Mat-tanári vizsga (első évfolyam második félév) — 1998. június 18.

2. (2+2+2+2=8 pont)

a) Határozzuk meg az i + j − k kvaternió inverzét.

b) Adjunk példát olyan konkrét maradékos osztásra, ami ℤ[x]-ben nem végezhető el (és bizonyítsuk is be, hogy ez nem végezhető el).

c) Adjunk példát egy egységelemes, kommutatív gyűrű fölötti olyan harmadfokú polinomra, melynek legalább négy gyöke van.

d) Magyarázzuk el, mi az oka annak, hogy a polinomok gyökeinek multiplicitását, és deriváltjuk gyökeinek multiplicitását összekapcsoló, ℂ fölött bizonyított tétel nem igaz tetszőleges test fölött.

3. (2+2+2+2=8 pont)

a) Adjuk meg az összes olyan tizedfokú, racionális együtthatós polinomot, melynek i + 1 kétszeres, i − 1 pedig háromszoros gyöke.

b) Adjunk meg egy harmadfokú irreducibilis polinomot ℤ_{5} fölött.

c) Legyen f egész együtthatós primitív polinom. Igaz-e, hogy tetszőleges g ∈ ℤ[x] esetén, ha f | g a ℚ fölött, akkor az oszthatóság igaz ℤ fölött is?

d) Hány különböző polinomfüggvény van ℤ_{2} fölött?

4. (2+2+2+2=8 pont)

a) Hogyan lehet gyorsan kiszámítani, hogy o_{71}(2) osztója-e 35-nek?

b) Adjunk meg olyan m és n egészeket, hogy tetszőleges g egészre, ha g^{n} és g^{m} mod 97 értékét ismerjük, akkor ebből már további számolás nélkül el tudjuk dönteni, hogy g primitív gyök-e mod 97.

c) Melyek azok a páratlan p prímek, melyekre a −1-ből vonható negyedik gyök ℤ_{p}-ben?

d) Melyik az a legkisebb k nemnegatív egész szám, melyre minden a ∈ ℤ esetén teljesül, hogy a^{φ(46)+k} ≡ a^{k} (46)?

5. (2+2+2=6 pont)

a) Hányféleképpen írható fel a 90000 két pozitív egész szám négyzetének összegeként, ha a sorrendet nem vesszük tekintetbe?

b) Teljes 6-odik hatvány-e a Gauss-egészek között a 8?

c) Prímtulajdonságú-e a 3 az \{a + bi\sqrt{5} | a, b ∈ ℤ\} gyűrűben?