Mat-tanári szak, első évfolyam, második félév Vizsgadolgozat — 1998. május 29.

Minden kérdéscsoportot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző és a gyakorlatvezető neve. Aki felírja az email címét is, annak a javító igyekszik mihamarabb az eredményét emailben elküldeni. Eredményhirdetés: június 2 (kedd), reggel 9, az Algebra Tanszék környékén.

Valamennyi megoldásban indoklás (azaz bizonyítás vagy ellenpélda) szükséges, a puszta eredményért nem jár pont. A kétpontos kérdésekre a válasz általában mindössze egy-két sor, ami sokszor csak egy hivatkozás egy tételre (ez lehet olyan is, amit az előadáson nem bizonyítottunk) vagy egy definícióra. Ne keressünk hosszú, vagy trükkös megoldásokat. A két pont a teljesen helyes és precíz válaszért jár. Aki hibázik, de a lényeget látja, az egy pontot kap, ha a lényeg hiányzik, nulla pontot.

A vizsgán az átmenés szükséges és elégséges feltétele: Lényegében helyesen (azaz apróbb hibáktól eltekintve) le kell írni az első feladatban a bizonyítást, ÉS meg kell szerezni a dolgozat összpontszámának felét. Jeles az összpontszám 80 százalékáért jár (ha megvan a bizonyítás is).

1. (10 pont)

Bizonyítsuk be, hogy minden p prímre létezik primitív gyök mod p. Bizonyítás nélkül használhatók az elemrend, valamint a ℤ_{p}[x] polinomjainak alapvető tulajdonságai, a többi segédállítást bizonyítani kell.

2. (2+2+2+2=8 pont)

a) Határozzuk meg a 𝔾[x]^{×} csoport elemeit, és ezek rendjeit (itt 𝔾 a Gauss-egészek gyűrűjét jelöli).

b) Amikor bebizonyítjuk a következő állítást: „ha egy racionális együtthatós polinom oszt egy racionális együtthatós polinomot ℂ[x]-ben, akkor osztja ℚ[x]-ben is”, akkor a maradékos osztás egyértelműségét melyik gyűrűben alkalmazzuk?

c) Adjunk példát olyan nullosztómentes gyűrű fölötti polinomra, melynek több gyöke van, mint a foka.

d) Igaz-e tetszőleges test fölött, hogy ha egy polinomnak egy elem (pontosan) kétszeres gyöke, akkor a deriváltjának (pontosan) egyszeres gyöke?

Fordíts! Typeset by AMS-TEX 2 Mat-tanári vizsga (első évfolyam második félév) — 1998. május 29.

3. (2+2+2+2=8 pont)

a) Irreducibilis-e az x^{6} + 2x + 2 polinom ℝ fölött?

b) Mondjuk ki azt a Gauss-lemmát, amihez az a tény kapcsolódik, hogy ℤ_{p}[x] nullosztómentes, és magyarázzuk el a kapcsolatot.

c) Van-e olyan tizedfokú, egész együtthatós polinom, mely ℚ felett felbonthatatlan, de ℤ felett nem?

d) Alaptételes gyűrű-e a valós számtest?

4. (2+2+2=6 pont)

a) Pistike kiszámolta 7^{32} értékét, megállapította, hogy az eredmény kongruens 1-gyel modulo 96, és kijelentette, hogy eszerint a 7 rendje 32 modulo 96. Mi volt erre a tanító néni két megjegyzése?

b) Milyen maradékot adhatnak a c^{16} + 1 szám páratlan prímosztói 32-vel osztva?

c) Mondjuk ki az RSA titkosírási módszer alapját képező lemmát.

5. (2+2+2+2=8 pont)

a) Mondjuk ki azt a számelméleti (egy kongruencia megoldhatóságáról szóló) tételt, amelynek kulcsszerepe van a Gauss-prímek meghatározásában.

b) Gauss-prím-e 1997 + 7991i?

c) Hány osztója van a Gauss-egészek között a 25-nek?

d) Prímtulajdonságú-e 1 + i\sqrt{5} az \{a + bi\sqrt{5} | a, b ∈ ℤ\} gyűrűben?