Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Kilencedik alkalom

Az α Gauss-egész normája az N(α) = α\overline{α} = |α|^{2} nemnegatív egész szám. A norma multiplikatív, vagyis N(αβ) = N(α)N(β) teljesül minden α, β ∈ 𝔾-re. Ha szükség van a megkülönböztetésre, akkor |_{ℤ} az egész számok közötti, |_{𝔾} pedig a Gauss-egészek közötti oszthatóságot jelöl. Az α Gauss-egészt a β ≠ 0 Gauss-egésszel úgy oszthatjuk el maradékosan, hogy megkeressük az α/β komplex számhoz a legközelebbi Gauss-egészt, ez lesz a hányados. Gyakorlatilag, ha α/β = r + si, ahol r és s racionális számok, akkor legyen a az r-hez, b az s-hez legközelebbi egész szám, γ = a + bi, δ = α − βγ. Ezek a számok kielégítik a maradékos osztás feltételeit. A 4k − 1 alakú pozitív ℤ-beli prímek a Gauss-egészek gyűrűjében is prímek. A 4k + 1 alakú pozitív ℤ-beli prímek felbomlanak két egymással nem asszociált Gauss-prím szorzatára, melyek egymás konjugáltjai. Végül Gauss-prím még az 1 + i. Ezzel asszociáltság erejéig az összes Gauss-prímet felsoroltuk.

1. Az alábbi állításokról vizsgáljuk meg, igazak-e a Gauss-egészek gyűrűjében. a) 2 + 3i | 7i − 4.

b) 3 + 4i és 4 − 3i asszociáltak.

2. Határozzuk meg a 2 + 11i és 13 + 4i összes kitüntetett közös osztóját a Gauss-egészek között az euklideszi algoritmussal, és ezek egyikét állítsuk elő az algoritmus alapján ax+by alakban, ahol x, y ∈ 𝔾.

3. Igazoljuk az alábbi állításokat tetszőleges α, β ∈ 𝔾-re.

a) m, n ∈ ℤ esetén m |_{ℤ} n ⟺ m |_{𝔾} n.

b) α |_{𝔾} N(α), és ha α |_{𝔾} β, akkor N(α) |_{ℤ} N(β).

c) α akkor és csak akkor egység 𝔾-ben, ha N(α) = 1. Mindezek alapján határozzuk meg 𝔾 egységeit.

4. Az 1 + i, 2 + i, 3 + 4i, 2, 3, 5 számok közül melyek felbonthatatlanok 𝔾-ben? Igazoljuk, hogy ha N(α) felbonthatatlan ℤ-ben, akkor α felbonthatatlan 𝔾-ben.

5. Bontsuk fel a 14, 20, 30 számokat a Gauss-egészek gyűrűjében az alaptétel szerint.

6. Teljes hatodik hatvány-e 𝔾-ben a −27? És a −8?

7. Oldjuk meg az egész számok körében az x^{2} + 1 = y^{3} diofantikus egyenletet az alábbi feladatsor végrehajtásával.

a) Bontsuk fel 𝔾-ben szorzatra az egyenlet baloldalát.

b) Mutassuk meg, hogy a baloldal két tényezőjének közös prímosztója csak 1 + i lehet, és ilyenkor y páros.

c) Mutassuk meg a 4-gyel való oszthatóságot vizsgálva, hogy y nem lehet páros szám.

d) Mutassuk meg, hogy 𝔾 mindegyik egysége teljes köb 𝔾-ben.

e) Mutassuk meg, hogy a baloldal mindkét tényezője teljes köb 𝔾-ben.

f) Az a + bi köbének kiszámításával keressük meg x lehetséges értékeit. Oldjuk meg hasonlóan az x^{2} + 121 = y^{3} diofantikus egyenletet is.

8. Mely Gauss-egészek asszociáltak a konjugáltjukkal?

9. Egyértelmű-e a maradékos osztás 𝔾-ben?