Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Hatodik alkalom

Az alábbiakban legyen R kommutatív, nullosztómentes, egységelemes (=szokásos) gyűrű, melyben a szorzás jele egymás mellé írás, 0 a nullelemet, 1 az egységelemet jelöli.

1. Az alábbi struktúrák gyűrűk-e? Ha igen, kommutatívak-e, egységelemesek-e, nullosztómentesek-e, testek-e? A kommutatív gyűrűkben határozzuk meg az egységeket is.

a) Az a + bi alakú számok, ahol a, b ∈ ℚ, a szokásos összeadásra és szorzásra nézve.

b) Az a + bi alakú számok, ahol a, b ∈ ℤ, a szokásos összeadásra és szorzásra nézve.

c) Az a + b\sqrt{2} alakú számok, ahol a, b ∈ ℚ, a szokásos összeadásra és szorzásra nézve.

d) Az a + b\sqrt[3]{2} alakú számok, ahol a, b ∈ ℚ, a szokásos összeadásra és szorzásra nézve.

e) Tetszőleges Abel-csoport, a szorzást úgy definiáljuk, hogy minden szorzat nulla.

f) Egy X halmaz összes részhalmaza, ahol az összeadás a szimmetrikus differencia képzése (tehát Y + Z elemei azok, melyek Y és Z közül pontosan egyben vannak benne), a szorzás pedig a metszetképzés.

2. Jelölje ℤ[\sqrt{2}] az a + b\sqrt{2} alakú számok gyűrűjét a ℂ-beli összeadásra és szorzásra, ahol a, b ∈ ℤ. Igazoljuk, hogy ebben végtelen sok egység van.

3. Bizonyítsuk be az alábbi állításokat.

a) Ha ∘ kétváltozós művelet egy A halmazon, akkor csak egy neutrális eleme lehet.

b) Ha e neutrális elem a ∘ kétváltozós asszociatív műveletre nézve, akkor minden elemnek legfeljebb egy (kétoldali) inverze lehet (e-re nézve).

c) Ha S gyűrű, és 0 az összeadás neutrális eleme (azaz S nulleleme), akkor tetszőleges s ∈ S esetén s ∗ 0 = 0 ∗ s = 0.

d) Egy egységelemes gyűrű invertálható elemei a szorzásra nézve csoportot alkotnak.

4. Mutassuk meg, hogy az R[x] polinomgyűrű egységei azok az r konstans polinomok, ahol r egység R-ben. Határozzuk meg ennek alapján ℤ[x], ℚ[x], ℝ[x], ℂ[x], ℤ_{m}[x] egységeit. Mutassuk meg, hogy az R[x]-ben akkor és csak akkor felbonthatatlan minden elsőfokú polinom, ha R test.

5. Mely m-ekre van ℤ_{m}[x]-ben olyan polinom, amelynek több gyöke van, mint a foka?

Gyakorló feladatok

6. Igazoljuk R-ben az alábbi állításokat.

a) Az oszthatóság tranzitív.

b) A nullelem csak önmagának osztója, de minden elemnek többese.

c) Két elem akkor és csak akkor asszociált, ha egymás egységszeresei.

7. Végezzük el ℤ_{17}-ben a 2/3 és az 5/12 osztásokat.

8. Mutassuk meg, hogy a mod m maradékképzés ℤ[x]-ből ℤ_{m}[x]-be művelettartó. Vezessük le ebből, hogy ℤ_{m} gyűrű.

9. Adjunk a Schönemann-Eisenstein-tételre új bizonyítást a polinom mod p vizsgálatával.

10. Legyen ∘ asszociatív művelet az A halmazon, és a, b, c, d, e ∈ A.

a) Mutassuk meg, hogy [(a ∘ b) ∘ (c ∘ d)] ∘ e = a ∘ [{(b ∘ c) ∘ d} ∘ e].

b)^{∗} Mutassuk meg, hogy tetszőleges szorzat értéke független a zárójelezéstől.