Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Ötödik alkalom

1. Írjuk fel az összes másodfokú polinomot ℤ_{2} felett. Melyek lesznek irreducibilisek? Határozzuk meg a legfeljebb negyedfokú irreducibilis polinomokat ℤ_{2} felett.

2. A 6x^{4} − 9x + 1 polinomot modulo 3 vizsgálva igazoljuk, hogy irreducibilis ℚ felett. A kapott gondolatmenetet próbáljuk meg általánosítani.

3. Legyen f ∈ ℤ[x] egy n-edfokú polinom, ahol n ≥ 1, p egy prímszám, és 0 < k < n. Legyen \overline{f} ∈ ℤ_{p}[x] az f modulo p véve. Az alábbi állítások közül melyek igazak?

a) Ha f irreducibilis ℤ felett, akkor \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett.

b) Ha \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett, akkor f irreducibilis ℤ felett.

c) Ha \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett, akkor f irreducibilis ℚ felett.

d) Ha \overline{f} irreducibilis ℤ_{p} felett, és \overline{f} foka n, akkor f irreducibilis ℚ felett.

e) Ha f-nek van ℤ felett k-adfokú tényezője, akkor \overline{f}-nak is van k-adfokú tényezője.

f) Az előző állítás akkor, ha azt is tudjuk, hogy \overline{f} foka n.

4. Határozzuk meg az x^{6} + x^{5} + 5x^{4} + 4x^{3} + 8x^{2} + 4x + 4 polinom többszörös gyökeit a formális deriválás módszerével.

5. Lehet-e egy irreducibilis polinomnak többszörös gyöke ℚ illetve ℤ_{2} felett?

6. Mutassuk meg tetszőleges test felett, hogy ha az f polinomnak van többszörös tényezője (azaz g^{2} alakú osztója, ahol g nem konstans polinom) akkor (f, f′) ≠ 1. Mely p prímekre igaz, hogy x^{n} − 1-nek van többszörös tényezője ℤ_{p} felett?

7. Adjunk meg egy olyan polinomot egy alkalmas test felett, melynek van olyan nyolcszoros u gyöke, hogy u a polinom deriváltjának is (pontosan) nyolcszoros gyöke. Igaz-e tetszőleges test felett, hogy ha egy elem egy polinomnak egyszeres gyöke, akkor a deriváltjának biztosan nem gyöke?

Gyakorló feladatok a zárthelyihez

8. Irreducibilisek-e az alábbi polinomok?

a) ℂ illetve ℝ felett x^{7} + x + 1, x^{2} − 2, x^{2} + x + 1.

b) ℚ felett 3x^{7} − x^{6} + 6x^{2} + 2x − 2, 3x^{7} − 6x^{6} + 6x^{2} + 3x − 2, 3x^{7} − 6x^{6} + 6x^{2} + 2x − 2, x^{16} + 1, x^{16} + 2, x^{4} − 14x^{2} + 9, x^{4} − x^{2} + 1, 3x^{7} + 6x − 18, x^{5} + 4.

c) ℤ felett x^{4} + 2x + 27, 3x^{7} + 6x − 18, x^{6} + 1, x^{3} + 7x − 3, x^{4} + 3x^{3} + x^{2} + 1.

d) ℤ_{2} felett x^{8} + x^{2} + 1, x^{5} + x + 1, x^{5} + x^{4} + x^{3} + 1, x^{5} + x^{3} + 1.

e) ℤ_{17} felett x^{2} + 1, x^{4} + 1, x^{8} + 1, x^{17} + 1, x^{17} + 2.

9. Mely polinom gyökei lesznek az x^{5} − 3x^{4} + 5 gyökeinek reciprokai?

10. Mely b ∈ ℂ értékekre létezik az x^{n} + bx^{k} + 1 polinomnak háromszoros gyöke?

11. Határozzuk meg rendre a 12-edik, 18-adik illetve 24-edik primitív egységgyökök összegét és szorzatát. Általánosítsuk a feladatot! (Használjunk körosztási polinomokat!)

12. Legyen ε = cos 22.5^{∘} + i sin 22.5^{∘}. Gyöke-e ε az x^{10} + 3x − 4 polinomnak?

13. Legyenek m | n pozitív egészek úgy, hogy n minden prímosztója osztja m-et is. Igazoljuk, hogy Φ_{n}(x) = Φ_{m}(x^{(n/m)}). Számítsuk ki a Φ_{n}(x) polinomokat, ha n = 36, 72, 144, 100.