Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Harmadik alkalom

1. Mutassuk meg, hogy ℤ[x]-ben egy polinom akkor és csak akkor osztható egy egész számmal, ha minden együtthatója osztható vele. Határozzuk meg a ℂ, ℝ, ℚ, ℤ feletti polinomok körében az egységeket.

2. Bontsuk fel a 6(x^{2}−2)(x^{2}+1) polinomot ℂ, ℝ, ℚ, ℤ felett felbonthatatlanok szorzatára.

3. Adjuk meg a 2x^{3} + 3x + 5 polinom racionális gyökeit, és döntsük el, felbonthatatlan-e ez a polinom ℚ felett.

4. Felbonthatatlan-e ℤ[x]-ben az x^{4} + x + 1 polinom?

5. Bontsuk fel az x^{4} − 10x^{2} + 1 polinomot ℝ felett felbonthatatlanok szorzatára (segítség a számoláshoz: a polinomnak gyöke a \sqrt{2} + \sqrt{3}). A kapott felbontást, és az alaptétel egyértelműségi állítását kihasználva adjuk meg a ℚ feletti felbontást is.

6. Állapítsuk meg az f(x) = 3x^{3} + 6x^{2} + 6x + 3 és a g(x) = 2x^{4} + 2x^{2} + 2 polinomok kitüntetett közös osztóját az euklideszi algoritmussal, és az eredményt írjuk fel (a szokásos visszahelyettesítési eljárással) fp + gq alakban, ahol p és q alkalmas polinomok. Függ-e az eredmény attól, hogy ezeket a polinomokat ℂ, ℝ vagy ℚ felett tekintjük-e?

7. Állapítsuk meg a második és az ötödik feladatban szereplő két polinom kitüntetett közös osztóját és kitüntetett közös többszörösét.

8^{∗}. Mutassuk meg, hogy x^{n} − 2 minden n ≥ 1 esetén felbonthatatlan ℚ felett.

Gyakorló feladatok

Főfeladat. Vizsgáljuk meg, hogy az előző félévi III/1,2,3,4,5,7,9, IV/10,12, V/1,2 feladatok megfelelői igazak maradnak-e T [x]-ben is, ahol T a ℂ, ℝ, ℚ, ℤ egyike. Ellenőrizzük, hogy az előadáson említett, polinomokra vonatkozó állítások tényleg a ℤ-beli állításokkal azonos módon bizonyíthatók-e, és ahol szükséges, végezzük el a megfelelő módosításokat.

10. Igazoljuk, hogy ℂ, ℝ és ℚ felett bármely két polinomnak egyetlen normált kitüntetett közös osztója van, kivéve ha mindkettő a nullapolinom. Igaz-e ez az állítás ℤ felett is?

11. Mutassuk meg, hogy ℂ, ℝ, illetve ℚ felett minden elsőfokú polinom felbonthatatlan, és hogy az ax + b ∈ ℤ[x] elsőfokú polinom akkor és csak akkor felbonthatatlan ℤ felett, ha (a, b) = 1. Mely konstans polinomok lesznek felbonthatatlanok ℤ[x]-ben?

12. Bontsuk fel az x^{4} + 9, az x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 és az x^{4} − x^{2} + 1 polinomokat ℂ, ℝ, ℚ felett felbonthatatlanok szorzatára.

13. Asszociáltság erejéig hány osztója van ℂ, ℝ, ℚ, ℤ felett a második feladatban szereplő polinomnak? (Fel szabad használni, hogy ℤ[x]-ben igaz az alaptétel.) Hogyan lehet a ℤ-beli d(n) képletét általánosítani polinomokra?

14. Igaz-e, hogy két racionális együtthatós polinomnak akkor és csak akkor van közös komplex gyöke, ha a ℚ feletti kitüntetett közös osztójuk nem konstans?

15. Elvégezhető-e ℤ[x]-ben az x : 2 maradékos osztás? Melyek azok az egész együtthatós polinomok, amelyekkel mindig lehet ℤ[x]-ben maradékosan osztani?