Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Második alkalom

Egy n-edfokú komplex együtthatós polinomnak legfeljebb n gyöke lehet ℂ-ben. Ezért ha két legfeljebb n-edfokú polinom legalább n + 1 helyen megegyezik, akkor a két polinom (együtthatóról együtthatóra) egyenlő (ez a polinomok azonossági tétele ℂ felett). Egy α ∈ ℂ szám az f ∈ ℂ[x] polinomnak k-szoros gyöke, ha van olyan g ∈ ℂ[x] polinom, hogy f(x) = (x − α)^{k}g(x) és g(α) ≠ 0.

1. Osszuk el maradékosan az x^{3} − 2 polinomot 2x^{2} + 2x − 3-mal.

2. Mutassuk meg, hogy ha két n-edfokú komplex együtthatós polinom n (komplex) helyen megegyezik, és a főegyütthatóik egyenlők, akkor a polinomok is egyenlők.

3. Legyenek ε_{1}, …, ε_{n} az összes n-edik egységgyökök.

a) Bontsuk gyöktényezős alakra az x^{4} − 1 polinomot.

b) Bizonyítsuk be, hogy x^{n} − 1 = (x − ε_{1}) … (x − ε_{n}).

c) A gyökök és együtthatók összefüggése alapján számítsuk ki az n-edik egységgyökök összegét, négyzetösszegét és szorzatát. Vessük össze az eredményt és a megoldási módszert az előző félévbeli X/3 feladatéval.

d) Számítsuk ki az egységsugarú körbe írt szabályos n-szög egy csúcsából az összes többi csúcsba húzott szakaszok hosszának szorzatát.

4. Hányszoros gyöke az x^{4} − x^{3} − x + 1 polinomnak az 1?

5. Legyen f ∈ ℚ[x] olyan n-edfokú polinom, melynek i hatszoros gyöke. Lehet-e n = 10? Adjuk meg az összes ilyen polinomot, melynek foka 12.

6. Mutassuk meg, hogy ha f ∈ ℝ[x] és α ∈ ℂ, akkor α és \overline{α} ugyanannyiszoros gyöke f-nek. Igazoljuk, hogy páratlan fokú valós együtthatós polinomnak mindig van valós gyöke.

7. Mi lesz a maradék, ha az x^{4} + x^{2} + 1 polinomot elosztjuk x^{2} + x + 1-gyel? A kapott eredményt indokoljuk meg számolás nélkül is.

8^{∗}. Legyen f valós együtthatós polinom, mely minden valós helyen pozitív értéket vesz fel. Mutassuk meg, hogy f előáll két valós együtthatós polinom négyzetösszegeként.

Gyakorló feladatok

9. Végezzünk maradékos osztásokat véletlenszerűen felírt polinomokkal, amíg az eljárás nem megy flottul. Oldjuk meg az I/9. feladatot.

10. Vezessük le a gyöktényező kiemelhetőségéről szóló állítást a maradékos osztás tételéből.

11. Milyen kapcsolat van két olyan n-edfokú komplex együtthatós polinom között, amelyeknek ugyanaz az n (különböző) komplex szám a gyöke?

12. Írjuk fel az x^{n} + 1, az x^{2} − x + 1 és az x^{4} − x^{2} + 1 polinomokat gyöktényezős alakban. Ez utóbbi két polinomnak a gyökei honnan ismerősek?

13. Mi a maradék, ha x^{64} + x^{54} + x^{14} + 1-et osztjuk x^{2} + 1-gyel illetve x^{2} − 1-gyel?