Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Tizedik alkalom

Legyen az n pozitív egész szám ℤ-beli kanonikus alakja n = 2^{α}p_{1}^{α_{1}}p_{2}^{α_{2}} … p_{r}^{α_{r}}q_{1}^{β_{1}}q_{2}^{β_{2}} … q_{t}^{β_{t}}, ahol a p_{j} prímek 4k + 1, a q_{j}-k pedig 4k − 1 alakúak. Az n szám pontosan akkor áll elő két (ℤ-beli) négyzetszám összegeként, ha mindegyik β_{j} páros, ebben az esetben az előállítások száma 4(α_{1}+1)(α_{2}+1) … (α_{r} +1). Itt a negatív megoldások, és a sorrend is külön számítanak, például az 5 egyetlen 1 + 4 felbontásából az x^{2} + y^{2} = 5 egyenletnek nyolc megoldását kapjuk: (x, y) = (1, 2), (−1, 2), (1, −2), (−1, −2), (2, 1), (−2, 1), (2, −1), (−2, −1).

1. Határozzuk meg, hányféleképpen bonthatók az alábbi számok két négyzetszám összegére. Határozzuk meg a lényegesen különböző felbontások számát is (azaz amikor a sorrendtől és előjelektől eltekintünk): 45, 60, 90, 180, 900. A tapasztalatok alapján adjunk képletet általában is a lényegesen különböző előállítások számára.

2. Van-e olyan pozitív prímszám, amely két lényegesen különböző módon előáll két négyzetszám összegeként?

3. Van-e végtelen sok pozitív ℤ-beli prímszám, amely nem áll elő három (nemnegatív) négyzetszám összegeként?

4. Igazoljuk, hogy végtelen sok egész szám van, amely nem áll elő nyolc darab hatodik hatvány összegeként.

5. Adjunk meg végtelen sok pozitív egész számot, ami nem áll elő 16-nál kevesebb negyedik hatvány összegeként.

6. Igaz-e a négy négyzetszám tétel a Gauss-egészek gyűrűjében? Azaz előáll-e minden Gauss-egész egy alkalmas asszociáltja négy Gauss-egész négyzetének összegeként?

Legyen d olyan egész szám, ami nem egy egész szám négyzete, és jelölje ℤ[\sqrt{d}] az a + b\sqrt{d} alakú (komplex) számok halmazát, ahol a, b ∈ ℤ. Tehát a d = −1 esetben a Gaussegészeket kapjuk. Az α = a+b\sqrt{d} elem ℤ[\sqrt{d}]-beli konjugáltja definíció szerint \overline{α} = a−b\sqrt{d} (ha d negatív, ez a komplex konjugálttal egyenlő, de általában nem), ℤ[\sqrt{d}]-beli normája pedig N(α) = α\overline{α} = a^{2} − db^{2}.

7. Legyen α, β ∈ ℤ[\sqrt{d}]. Igazoljuk az alábbiakat.

a) \overline{α ± β} = \overline{α} ± \overline{β}; \overline{αβ} = \overline{α}\overline{β}; N(αβ) = N(α)N(β).

b) α | N(α) és ha α | β, akkor N(α) | N(β).

c) α akkor és csak akkor egység, ha N(α) = ±1.

d) Ha N(α) felbonthatatlan ℤ-ben, akkor α felbonthatatlan ℤ[\sqrt{d}]-ben.

8. Az alábbi állításokról vizsgáljuk meg, igazak-e a ℤ[\sqrt{−5}] gyűrűben.

a) 2, 3, 1 ± \sqrt{−5} felbonthatatlan.

b) Érvényes a számelmélet alaptétele.

9^{∗}. Igazoljuk, hogy ℤ[\sqrt{2}] euklideszi gyűrű a φ(a + b\sqrt{2}) = |a^{2} − 2b^{2}| függvényre nézve.

Fordíts!

10^{∗}. Mutassuk meg, hogy ℤ[\sqrt{−2}] euklideszi gyűrű a normára nézve. Oldjuk meg az egész számok körében az x^{2} + 2 = y^{3} diofantikus egyenletet.

11. Van-e végtelen sok, páronként nem asszociált prím a ℤ[\sqrt{2}] gyűrűben? [Ötlet: vizsgáljuk a ℤ-beli prímeket modulo 8.]

A kvaterniók szorzását a következőképpen lehet megjegyezni. Az {i, j, k} ciklikus sorrendben előrefelé haladva bármely két szomszédos elem szorzata a harmadik, visszafelé haladva bármely két szomszédos elem szorzata a harmadik ellentettje, és mindegyik elem négyzete −1. Összegeket a disztributív szabály alapján szorozhatunk, annak felhasználásával, hogy a valós számok az i, j, k elemekkel felcserélhetők.

12. Legyen α = a + bi + cj + dk kvaternió (a, b, c, d ∈ ℝ), és \overline{α} = a − bi − cj − dk az α konjugáltja. Számítsuk ki az α^{2} és az α · \overline{α} szorzatokat.

13. Igazoljuk, hogy a kvaterniók testében az x^{2} + 1 polinomnak végtelen sok gyöke van. Határozzuk meg az összes gyököt. Oldjuk meg az x^{2} − 1 = 0 egyenletet is.

14. Adjuk meg az összes olyan valós együthatós másodfokú polinomot, amelynek végtelen sok gyöke van a kvaterniók között.

Gyakorlófeladatok általános gyűrűkről

15. Mutassuk meg, hogy minden test alaptételes gyűrű.

16. Legyen R azoknak a (racionális) törteknek a halmaza, melyek nevezője páratlan. a) Mutassuk meg, hogy R a szokásos összeadásra és szorzásra nézve gyűrű.

b) Határozzuk meg az egységeket, a felbonthatatlanokat és a prímeket. Hány prím van asszociáltság erejéig (azaz asszociált prímeket nem tekintve különbözőknek)?

c) Vizsgáljuk meg, igaz-e az alaptétel.

d) A kapott tapasztalatok alapján konstruáljunk olyan gyűrűt, melyben igaz az alaptétel, és melyben asszociáltság erejéig pontosan hat darab prím van.

17^{∗}. Bizonyítsuk be, hogy ha R alaptételes, végtelen elemszámú gyűrű, ami nem test, akkor végtelen sok prím van benne (most az asszociált prímeket is különbözőnek tekintjük).

18. Milyen formában működik az osztók számára ℤ-ben tanult d(n) függvény képlete általános alaptételes gyűrűben? Hány osztója van a 900-nak a Gauss-egészek között, illetve ℤ[\sqrt{2}]-ben?

19. Legyen R alaptételes gyűrű. Mutassuk meg, hogy a kitüntetett közös osztó és többszörös létezik, asszociáltság erejéig egyértelmű, és a ℤ-ben megismert képlettel kapható. Igazoljuk az alábbiakat is, ha a, b, c, d, m ∈ R.

a) (a, b)[a, b] ∼ ab.

b) Ha a | d, b | d és a, b relatív prímek, akkor ab | d.

c) (a, b)c ∼ (ac, bc).

d) Ha d | ab, és d relatív prím a-hoz, akkor d | b.

e) Ha (m, c) ≠ 0 és ac ≡ bc (m), akkor a ≡ b (m/(m, c)). Mit értünk itt az osztás fogalmán?

20. Mutassuk meg, hogy minden véges nullosztómentes gyűrű test. Ezt tudva hogyan élesíthető a 17. feladat állítása?