Mat-tanári gyakorlat, első évfolyam, második félév Első alkalom

Ha f(x) = (x − x_{1}) … (x − x_{n}) = x^{n} − σ_{1}x^{n−1} + σ_{2}x^{n−2} + ⋯ + (−1)^{n}σ_{n}, akkor a gyökök és együtthatók közötti összefüggések a következők:

σ_{1}= x_{1} + x_{2} + ⋯ + x_{n}  \binom{n}{1} = n tag
σ_{k}= x_{1}x_{2} … x_{k} + …  \binom{n}{k}  tag
σ_{n}= x_{1}x_{2} … x_{n}  \binom{n}{n} = 1 tag.

A σ_{k} úgy keletkezik, hogy az x_{1}, …, x_{n} közül az összes lehetséges módon kiválasztunk k darabot, a kiválasztott x_{i}–ket összeszorozzuk, majd a kapott szorzatokat összeadjuk.

1. Végezzük el az alábbi műveleteket a komplex együtthatós polinomok körében, és állapítsuk meg az eredmény fokát.

a) (x^{3} + 3x^{2} + 2) − (x^{3} + 3x − 4).

b) (x^{2} + ix + 3)(x^{2} + i).

2. Írjuk fel az x^{4} +4 polinomot gyöktényezős alakban, és ellenőrizzük beszorzással az eredményt. Hogyan lehetne ezt a polinomot valós együtthatós polinomok szorzatára bontani?

3. Igazoljuk a gyökök és együtthatók közötti összefüggéseket másod- és harmadfokú polinomokra, majd általában is. Határozzuk meg a 2x^{4} + 2x + 3 polinom komplex gyökeinek összegét, szorzatát, négyzetösszegét, és a gyökök reciprokainak összegét.

4. Legyenek a, b, c az x^{3} + 3x + 1 polinom (komplex) gyökei. Írjuk fel azt a harmadfokú polinomot, melynek gyökei a^{2}, b^{2}, c^{2}, illetve a+b, a+c, b+c. (Eredmény: x^{3} +6x^{2} +9x−1 illetve x^{3} + 3x − 1.)

Nagyon ajánlott gyakorlatok az elméleti anyaghoz

5. Bizonyítsuk be a polinomok egyenlőségének definíciójából, hogy ha két nem nulla polinom egyenlő, akkor a fokuk is egyenlő, és hogy ha p felírható a_{0} +a_{1}x+⋯+a_{n}x^{n} alakban, akkor gr p = n ⟺ a_{n} ≠ 0.

6. Igazoljuk a polinomok szorzására felírt szummás képletet, és a műveletek alaptulajdonságait. Írjunk fel képletet három polinom szorzatában az általános tag együtthatójára.

7. Igazoljuk, hogy ha p, q és p+q nem nulla polinomok, akkor gr (p+q) ≤ max(gr p, gr q). Mutassunk példát arra, amikor nem áll egyenlőség. Fogalmazzuk meg és bizonyítsuk be az analóg állítást két polinom különbségének fokáról.

8. Igazoljuk, hogy (p±q)^{∗} = p^{∗} ±q^{∗} és (pq)^{∗} = p^{∗}q^{∗}. Itt a ^{∗} polinomfüggvényt, a baloldali jelek polinomok közötti, a jobboldaliak pedig (az analízisben definiált) függvények közötti műveleteket jelölnek.

9. Mutassuk meg, hogy egy nem nulla polinom minden gyökének multiplicitása egyértelműen meghatározott, és hogy az összevont gyöktényezős alakban (azaz a kanonikus alakban) szereplő kitevők épp a megfelelő gyökök multiplicitásai.