A februári előadásokat a következőkkel kezdem:

1. "Formális vektortér”. Tetszőleges B halmaz esetén konstruálhatunk olyan U vektorteret a T test felett, amelynek B egy bázisa. Ennek elemei a ∑_{i} c_{i}b_{i} alakú elemek; a triviális módon definiált műveletekkel.

Javasolt feladat: Végezzük el a bizonyítást.

2. Faktortér: Legyenek V ⊆ U vektorterek (T felett). Tetszőleges u ∈ U esetén legyen L = u + V = {u + v|v ∈ V}, amit "V szerinti lineáris (rész)halmaz”–nak nevezünk. Adott altér szerinti két lineáris halmaz vagy egyenlő vagy diszjunkt.

Javasolt feladat: 1) L akkor és csak akkor V szerinti lineáris halmaz, ha bármely v_{1}, v_{2} ∈ L esetén v_{1} − v_{2} ∈ L.

2) L akkor és csak akkor valamely altér szerinti lineáris részhalmaz, ha bármely v_{1}, v_{2}, v_{3} ∈ L esetén v_{1} − v_{2} + v_{3} ∈ L.

3) Ugyanabba a V szerinti lineáris halmazba tartozás osztályozás, amely a műveletekkel kompatibilis.

Ha L_{1} = u_{1} + V, L_{2} = u_{2} + V ugyanazon altér szerinti lineáris halmazok, akkor minden v_{i} ∈ u_{i} + V esetén v_{1} + v_{2} ∈ (u_{1} + u_{2}) + V. Továbbá, minden c skalárral cv_{1} ∈ cu_{1} + V. Ennek következtében a V altér szerinti lineáris halmazok a c(u + V) = cu_{1} + V és (u_{1} + V) + (u_{2} + V) = (u_{1} + u_{2}) + V műveletekre nézve vektorteret alkotnak T felett; amelyet az U tér V szerinti faktorterének nevezünk és U/V–vel jelölünk.

Javasolt feladat: Bizonyítsuk be, hogy cL = {cv|v ∈ L} és L_{1} + L_{2} = {v_{1} + v_{2}|v_{i} ∈ L_{i}}.

A faktortérhez hozzátartozik az a ϑ : U → U/V termászetes homomorfizmus, amelyiknél ϑ(v) = ϑ(v) + V.

Javasolt feladat: ϑ egyértelműen definiált a v ∈ ϑ(v) összefüggéssel.

3. Homomorfizmus–tétel: Legyen φ : U → W egy homomorfizmus legyen V ⊆ Ker(φ) és legyen ϑ : U → U/V a természetes homomorfizmus. Ekkor létezik pontosan egy olyan φ′ : U/V → W, amelyre φ = φ′ϑ teljesül. (Diagrammban is, kommutativitás szóval együtt.)

Javasolt feladat: Aki akarja általánosítsa a faktort és a homomorfizmus–tételt tetszőleges függvényekre!

4. Tenzor szorzat: A bihomomorfizmusokat ki akarjuk váltani egyetlen rögzített bihomomorfizmussal és valamilyen homomorfizmussal. Van teljesen modern és absztrakt megközelítés, ami csak azt biztosítja, hogy ilyen létezik. Van klasszikus megközelítés bázisokkal és számolással; ahol az a megadási mód, hogy mi történik új bázisban, de nem látható, hogy ez bázisfüggetlen. Itt a kettő közötti definiciót választjuk, amiről majd a másik két lehetőséget is leolvashatjuk.

Egy 𝔣 : U × V → W leképezés bilineáris, ha 𝔣(u, v) rögzített u esetén v–ben és rögzített v esetén u–ban lineáris. Mint a fenti megadás mutatja, egy U × V → W alakú függvényről van szó. A bilinearitás szerint például 𝔣(u_{1} + u_{2}, v) − 𝔣(u_{1}, v) − 𝔣(u_{2}, v) = 0. Az 𝔣 függvény tehát biztosan 0–ba viszi az (u_{1} + u_{2}, v) − (u_{1}, v) − (u_{2}, v) elemet; de ilyen elem nem létezik az U × V halmazban. Ez ugyanis nem a két altér direkt szorzata. Ha ez volna, akkor a fenti kifejezés (0, −v) lenne; és így — a bilinearitás többi relecióját is figyelembe véve — 𝔣 minden elemet 0–ba vinne. Márpedig könnyen látható, hogy van olyan bilineáris függvény, amelyik nem ezt teszi. Ezért célszerű a fenti alakú formális összegeket tekinteni; azaz az U × V mint bázis generálta formális vektortérre térni. Házi használatra jelöljük ezt U ◯ V–vel.

Az 𝔣 : U × V → W leképezés mindenképpen egyértelműen kiterjeszthető U ◯ V–nek W–be való lineáris leképezésévé; hiszen U × V az U ◯ V–nek egy bázisa. Jelöljük ezt a kiterjesztést is 𝔣–fel.

Mármost a fenti meggondolás alapján 𝔣 : U × V → W pontosan akkor bilineáris, ha az U ◯ V–nek a következő elemeit 0–ba viszi:

(u_{1} + u_{2}, v) − (u_{1}, v) − (u_{2}, v) és (cu, v) − c(u, v)
(u, v_{1} + v_{2}) − (u, v_{1}) − (u, v_{2}) és (u, cv) − c(u, v),

(*)

ahol c ∈ T, u, u_{1}, u_{2} ∈ U és v, v_{1}, v_{2} ∈ V.

A (*) alatti kifejezésekkel együtt ezek minden lineáris kombinácijának a képe is 0 kell, hogy legyen. Ezek a lineáris kombinációk egy L alteret alkotnak. Ennek az altérnek az elemeit linearitásoknak fogjuk nevezni; ezért is jelöltük az alteret L–lel.

Eszerint 𝔣 : U ◯ V → W pontosan akkor hoz létre bilineáris leképezést, ha L ≤ Ker(𝔣). Most alkalmazhatjuk a homomorfizmus tételt. Jelöljük az U ◯V/L vektorteret U ⊗V–vel és a megfelelő természetes homomorfizmust 𝔗 : U ◯V → U ⊗V–vel. Ne felejtsük el, hogy nem csak 𝔗 határozza meg egyértelműen az U ×V–re való megszorítását, hanem ez a megszorítás is egyértelműen meghatározza 𝔗–t. A kapott U ⊗ V vektorteret az U és V — ebben a sorrendben vett — tenzorszorzatának nevezik. Helyesebb az egész 𝔗 : U ◯ V → U ⊗ V konfigurációt érteni tenzorszorzaton; mert nem mindegy, hogy hogyan történik a leképezés.

A tenzorszorzatot jellemző univerzalitás az alábbi kommutatív diagrammal adható meg (𝔱 tetszőlegesen adott):

(U × V ⟶_{id} )U ◯ V ⟶_{𝔗} U ⊗ V
↓^{id}  ↓^{id}  ↓^{∃!ϑ}
(U × V ⟶_{id} )U ◯ V ⟶_{𝔱} W

Az univerzalitás következménye a tenzorszorzatnak a homomorfizmussal együtt való egyértelműsége (az ismert bizonyítás). Az ubiverzalitás az "absztrakt definició”, amit a továbbiakban lépten nyomon felhasználunk.

Mivel U × V az U ◯ V bázisa és 𝔗 szürjektív, ezért U × V–nek a 𝔗–nél vett képe generátorrendszer (de nem bázis!). Az (u, v) elemnek a 𝔗–nél vett 𝔗[(u, v)] képét u ⊗ v jelöli. Az U ⊗ V elemei tehát a u ⊗ v alakú elemek lineáris kombinációi. Ezeket a generátor elemeket az U–beli ás V–beli elemek tenzorszorzatának nevezzük. Mivel ezek nem függetlenek, ezért bizonyos lineáris kombinációk megegyeznek. A fellépő azonosságokat pontosan a (*) alatti relácóknak megfelelő azonosságok generálják. Ezek:

(u_{1} + u_{2}) ⊗ v = u_{1} ⊗ v + u_{2} ⊗ v és (cu) ⊗ v = c(u ⊗ v)
u ⊗ (v_{1} + v_{2}) = u ⊗ v_{1} + u ⊗ v_{2} és u ⊗ (cv) = c(u ⊗ v),

(**)

A (**) alatti azonosságok segítségével a tenzorszorzat minden eleme felírható az U–ban és V–ben rögzített báziselemek tenzorszorzatának lineáris kombinációjaként. Legyenek az U–beli E bázis elemei az e_{i}–k és a V–beli F bázis elemei az f_{j}–k. Ekkor U ⊗ V–nek egy generátorrendszerét adják az e_{i} ⊗ f_{j} alakú elemek. Belátjuk, hogy ezek bázist alkotnak. (Éppen ez a "klasszikus” megadási mód.)

Azt kell csak belátni, hogy a fenti elemek lineárisan függetlenek. Tegyük fel evégett, hogy w = ∑_{i,j} c_{i,j}e_{i} ⊗ f_{j} = 0. Belátjuk, hogy bármely p, q esetén c_{p,q} = 0. Tekintsük a következő két leképezést: u → e_{p}^{∗}(u) és v → f_{q}^{∗}(v). Ezek "szorzata”: 𝔣 : (u, v) → (e_{p}^{∗}(u))(f_{q}^{∗}(v)) nyilván bilineáris leképezés T–be. Ez az (e_{p}, f_{q}) párt 1–be viszi, a többi (e_{i}, f_{j}) párt pedig 0-ba. (Azokat is, ahol i = p de j ≠ q, illetve j = q de i ≠ p!) Létezik tehát egy olyan egyértelmű φ : U ⊗V → T, amelyre 𝔣 = φ𝔗. Erre φ(e_{p} ⊗f_{q}) = φ𝔗(e_{p}, f_{q}) = 𝔣(e_{p} ⊗ f_{q}) = 1 és minden más esetben φ(e_{i} ⊗ f_{j}) = 0. Így 0 = φ(w) = c_{p,q}, mint állítottuk.

Ebből azonnal következik, hogy véges dimenziós vektorterek esetében U ⊗ V dimenziója az U és V dimenziójának a szorzata.

Javasolt feladat: 1) Mikor lesz u ⊗ v = 0?

2) Véges dimenziós vektortereknél dim(U ⊗ V) = dim(Hom(U, V)). Mutassuk meg, hogy ez nem igaz, ha a két vektortér egyike (melyik?) végtelen dimenziós.

3) Definiáljuk a tenzorszorzatot vektorterek helyett kommutatív egységelemes gyűrűk feletti modulusokra.

4) Vizsgáljuk a tenzorszorzatot az előbbi esetre.

A tenzorszorzatra vonatkozó "alapazonosságok”:

Az alaptest az "identitás”; T⊗U ≅ U természetes módon, az 1⊗u → u megfeleltetéssel. A tenzorszorzat kommutatív. Az U × V → V × U izomorfizmus "felemelhető” egy

U ⊗ V → V ⊗ U izomorfizmussá.

A tenzorszorzat asszociatív! A háromtényezős tenzorszorzat definiciójához két lépés szükséges:

(U × V) × W ⟶^{𝔗_{1},id} (U ⊗ V) × W ⟶^{𝔗_{2}} (U ⊗ V) ⊗ W,

megfelelően értelmezve. Ezután az (U × V) × W → U × (V × W) izomorfizmus felemelhető egy (U ⊗ V) ⊗ W → U ⊗ (V ⊗ W) izomorfizmussá.

5. Tenzor koordinátái. Legyenek A = {a_{1}, …, a_{n}} az U és B = {b_{1}, …, b_{k}} a V vektortér adott bázisai. Az U ⊗ V térbeli minden tenzor egyérteműen felírható A = ∑_{i,j} a_{i,j}a_{i} ⊗ b_{j} alakban. Az itt fellépő együtthatókat az A tenzor adott bázisbeli "koordinátáinak” nevezzük. Világos, hogy ezeket a koordinátákat célszerű mátrixalakban felírni: [A]^{i,j} = a_{i,j}.

Javasolt feladat: 1) Határozzuk meg [A] elemeit formálisan az A^{∗} és B^{∗} duális bázisok segítségével.

2) Legyen E = σ(A) és F = τ(B) egy–egy új bázis. Írjuk fel A mátrixát ebben a bázispárban.

3) Írjuk fel az u ⊗ v mátrixát.

4) Melyek azok az A tenzorok, amelyekre r([A]) = 1?

5) Jellemezzük azokat a tenzorokat, amelyekhez tartozó mátrix rangja r.

6) Tekintsük U–nak U^{∗}–ba való rögzített izomorfizmusát. Tetszőleges (a^{∗}, b) ∈ U^{∗} × V elemhez rendeljük hozzá azt a (a^{∗}, b) : U → V homomorfizmust, amelyre (a^{∗}, b) : u ↦ a^{∗}(u)b. Konkluzió??