Determinánsok szorzástétele:

Legyen A = [α], B = [β]. Ekkor, a mátrixszorzás definiciója szerint AB = [αβ]. Így:

det(AB) = D(αβ) = D(α) · D(β) = det(A) · det(B).

Legyen u_{1}, …, u_{n} az U vektortér egy bázisa. Legyen φ az a transzformáció, amire φ(u_{i}) = u_{i}+cu_{j} (ahol j ≠ i), és t ≠ i esetén φ(u_{t}) = u_{t}. Mivel a mérték antiszimmetrikus, ezért a kapott új bázis mértéke megegyezik az eredetiével, így D(φ) = 1. φ–nek az F = [φ] mátrixára det(F) = 1, és ez a mátrix az eredeti bázisban a következő alakot ölti:

A fődiagonális minden eleme 1, az i–edik oszlop j–edik eleme c, a többi elem 0.

Ekkor az AF mátrix úgy kapható az A mátrixból, hogy annak i–edik oszlopához hozzáadjuk a j–edik oszlopot. A determinánsok szorzástétele szerint ekkor A determinánsa nem változik meg.

Legyen ψ az a transzformáció, amire ψ(u_{i}) = u_{i}, és t ≠ i esetén ψ(u_{t}) = u_{t}. Az előzőhöz hasonlóan azt kapjuk, hogy egy mátrix valamelyik oszlopát c–vel szorozva a determináns is c–vel szorzódik.

Ezt figyelembe véve, az első eljárásnak ismételt alkalmazásával nyerjük, hogy két oszlop felcserélésekor a determináns előjelet vált.

Ha az A mátrixot balról szorozzuk, akkor azt nyerjük, hogy a megfelelő elemi transzformációt a sorokkal végezve a determináns hasonlóképpen változik.

Egy mátrix r–szer r–es részmátrixának determinánsát r–edrangú aldeterminánsnak nevezik.

Ha egy mátrix rangja legalább r, Akkor van r–független oszlopa. A többit elhagyva olyan részmátrixot nyerünk, amelynek r oszlopa van és rangja ismét r. Hasonlóképpen kaphatjuk, hogy ennek van olyan négyzetes részmátrixa, amelynek a rangja ugyancsak r. Ez tekinthető egy reguláris transzformáció mátrixának, és így determinánsa ≠ 0. Fordítva, ha egy s sorú négyzetes részmátrix determinánsa ≠ 0, akkor sorai lineárisan függetlenek; amiből azonnal következik, hogy az eredetin mátrix ugyanezen sora sem lehetnek összefüggőek, tehát az eredeti mátrix rengja legalább s. Így:

Egy mátrix rangja megegyezik maximális rangú nem–0 aldeterminánsának méretével.