Matematikus szak, első évfolyam, második félév Első zárthelyi

Minden feladatot külön lapra írjunk, és minden lapon legyen rajta a szerző és a gyakvezér neve. Valamennyi feladatban indoklás szükséges. Az osztályzat nem kisebb a teljesen megoldott példák számánál.

1. A legfeljebb másodfokú valós együtthatós polinomokból és a nullapolinomból álló ℝ feletti szokásos vektortéren legyen A az a lineáris transzformáció, melyre A(p(x)) = (x − 5)p′(x). Számítsuk ki ennek a sajátvektorait, sajátértékeit. Van-e olyan bázis, amelyben a mátrixa diagonális?

2. Tekintsük a −2x^{2} + 4xy − 3y^{2} + 4xz − 4z^{2} kvadratikus alakot.

a) Adjunk meg egy olyan bázist, amelyben négyzetösszeggé válik.

b) Határozzuk meg a karakterét.

3. Tegyük ℝ^{3}-öt ℝ[x]-modulussá a p(x)v = p(A)(v) szorzással, ahol

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Hány részmodulusa van az így kapott modulusnak?

4. Számítsuk ki az alábbi 16 × 16-os determináns értékét.

|_{1} _{2} _{.}_{.}_{.} _{7} _{8}_{1}_{2}_{.}_{.}_{.}_{7}_{8}  _{8}_{7}_{.}_{.}_{.}_{2}_{1}_{8} _{7} _{.}_{.}_{.} _{2} _{1} 0 0  0 0  |

5. Legyen V egy komplex feletti véges dimenziós vektortér, és A ∈ Hom(V). Tekintsük az A összes sajátértékét, mindegyikhez vegyünk egy sajátvektort, és ezeket adjuk össze. Mely A transzformációk esetén teljesül a kapott u vektorra, hogy m_{A,u} = m_{A}?

6. Mely véges dimenziós vektortereknek van négy olyan altere, melyek közül bármely kettő direkt összege maga a tér?

7. Van-e olyan V vektortér és A, B ∈ Hom(V), hogy m_{AB} = m_{A}m_{B}?