Matematikus gyakorlat, első évfolyam, második félév Kilencedik feladatsor

1. A rezultáns módszerével vezessük vissza az alábbi három egyenletrendszert egyismeretlenes egyenletre, és oldjuk is meg őket ℝ felett.

\{ \begin{matrix}(x − 1) · y^{2} & + & (x + 1) · y & − 2 = 0 \\ (x − 1) · y^{2} & + & x · y & − 1 = 0 \end{matrix} \{ \begin{matrix}(x − 1) · y^{2} & + & (x + 1) · y & − 1 = 0 \\ (x − 1) · y^{2} & + & x · y & − 1 = 0 \end{matrix} \{ \begin{matrix}x^{2} + 1 & = 2y \\ y^{2} + 1 & = 2z \\ z^{2} + 1 & = 2x \end{matrix}

Vegyes feladatok

2. Legyen az U vektortér bázisa {u_{1}, u_{2}, u_{3}}, a V vektortéré {v_{1}, v_{2}} valós felett. Legyen A ∈ Hom(U, V), S ∈ Hom(U) és T ∈ Hom(V) az alábbi mátrixokkal adva a megfelelő bázisokban.

[A] = ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 1 & −1 & 3 \end{matrix} )  [S] = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} )  [T] = ( \begin{matrix}4 & 3 \\ −3 & 4 \end{matrix} )

Legyen továbbá B : U × V → ℝ egy olyan bilineáris függvény, melynek mátrixa az adott bázisban ugyanaz, mint A mátrixa. Tekintsük most az {Su_{1}, Su_{2}, Su_{3}} illetve a {T v_{1}, T v_{2}} új bázisokat. Adjuk meg A, B, S, T mátrixát az új bázisban közvetlen számolással.

3. Milyen ismert gyűrűkkel izomorfak az alábbi faktorok: ℤ/4ℤ (4ℤ a néggyel osztható számok halmaza); ℤ[x]/(x^{2} + 1); ℝ[x]/(x^{2} + 1); ℝ[x]/(x^{2} + 4); ℝ[x]/(x^{2} − 1).

4. Írjuk fel a ℤ_{2}[x]/(x^{2} + x + 1) faktorgyűrű művelettábláit, és igazoljuk, hogy négyelemű testet kaptunk. Konstruáljunk hasonló módszerrel egy nyolcelemű testet. Izomorfia erejéig hányféle testet kapunk így?

5. Jelölje 𝔾 a Gauss-egészek gyűrűjét. Test-e a 𝔾/(3) faktorgyűrű? Hány eleme van ennek a faktorgyűrűnek? Van-e 𝔾-nek a háromelemű testtel izomorf faktorgyűrűje?

6. Legyen R egységelemes gyűrű és M baloldali unitér R-modulus, mely egy elemmel generálható (azaz ciklikus).

a) Mutassuk meg, hogy M izomorf R-nek mint önmaga feletti modulusnak egy J részmodulusa, azaz balideálja szerinti faktormodulusával.

b) Adjunk meg egy kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést M faktormodulusai, és R-nek a J-t tartalmazó balideáljai között.

7^{∗}. Legyen n pozitív egész, és R egy végtelen integritási tartomány, melyben az x ↦ x^{n} leképezés endomorfizmus. Mutassuk meg, hogy n prímhatvány.

8^{∗}. Legyen D főideálgyűrű. Generálható-e a D[x, y] gyűrű (x^{2}, xy, y^{2}) ideálja két elemmel?

9^{∗∗∗∗∗∗∗}. Egy kártyacsomagot a következő módon akarunk megkeverni:

a) a legfelső lapot legalulra tesszük;

b) a legfelső két lapot megcseréljük. Fogunk egy húszfillérest, és sokszor feldobjuk. Ha az eredmény írás, akkor az a)-beli, ha fej, akkor a b)-beli mozdulatot hajtjuk végre. Bizonyítsuk be, hogy ha ezt az eljárást elég sokáig csináljuk, akkor a csomag jól megkeveredik. Hogyan lehet általánosítani a feladatot?