Matematikus gyakorlat, első évfolyam, második félév Hatodik feladatsor

Ha A Abel-csoport és n ∈ ℤ, akkor nA = {na | a ∈ A}. Az A torziócsoport, ha minden eleme véges rendű; torziómentes, ha csak a 0 véges rendű; szabad, ha ℤ^{+} néhány példányának direkt összegével izomorf; osztható, ha az nA = A minden 0 ≠ n ∈ ℤ-re. ℤ_{p^{∞}} jelöli a komplex p-hatványadik egységgyökök csoportját a szorzásra (p prím).

1. Számítsuk ki az alábbi faktorok művelettábláit. Milyen ismert csoportot kapunk? a) ℤ^{+}/4ℤ^{+}.

b) A/21A, ahol A = ℤ_{60}^{+} × ℤ_{24}^{+}. Mi lesz a (11, 11) + 21A elem rendje?

2. Számítsuk ki: ℤ_{n}^{+} ⊗ ℤ^{+}; ℤ_{n}^{+} ⊗ ℤ_{m}^{+}; ℚ^{+} ⊗ ℤ_{n}^{+}; ℚ^{+} ⊗ ℚ^{+}; ℤ_{p^{∞}} ⊗ ℤ_{n}^{+}; ℤ_{p^{∞}} ⊗ ℤ_{p^{∞}}. Igaz-e: a) Osztható csoportnak bármely Abel-csoporttal vett tenzorszorzata osztható.

b) Torziócsoport bármely Abel-csoporttal vett tenzorszorzata torziócsoport.

c) Osztható csoportnak bármely torziócsoporttal vett tenzorszorzata nulla.

d) Két szabad Abel-csoport tenzorszorzata is szabad.

e) Ha A tetszőleges Abel-csoport, akkor ℤ_{n}^{+} ⊗ A ≅ A/nA.

3. Számítsuk ki A = ℤ^{+}, ℤ_{m}^{+}, ℤ_{p^{∞}}, ℚ^{+} esetén Hom(A, φ)-t, Hom(φ, A)-t és A ⊗ φ-t. Vizsgáljuk meg, hogyan függ össze φ és az eredmény injektivitása, illetve szürjektivitása.

a) φ : ℤ^{+} → ℤ^{+} az a homomorfizmus, ami minden elemhez az n-szeresét rendeli.

b) φ : ℤ_{m} → ℤ_{nm}, az n-nel szorzás.

c) φ : ℤ → ℤ_{n} a mod n vett maradék képzése.

d) φ a ℤ → ℚ beágyazás.

4. Ha A, B, C, D Abel-csoportok, α ∈ Hom(A, C) és β ∈ Hom(B, D), akkor α⊗β kétféleképpen értelmezhető: mint leképezések tenzorszorzata, és mint a Hom(A, C) ⊗ Hom(B, D) egy eleme. Igazoljuk, hogy van olyan Ψ : Hom(A, C) ⊗ Hom(B, D) → Hom(A ⊗ B, C ⊗ D) homomorfizmus, ami a második értelmezéshez az elsőt rendeli, de Ψ általában se nem injektív, se nem szürjektív. (Ötlet: Tekintsük az α : ℤ_{p} → ℤ_{p^{2}} beágyazást.)

5. Legyen R kommutatív egységelemes gyűrű és A, B, C, D baloldali unitér R-modulusok. Melyek igazak az alábbi izomorfizmusok közül?

a) _{R}R ⊗ A ≅ A.

b) Hom(A × B, C) ≅ Hom(A, C) × Hom(B, C).

c) Hom(A, C × D) ≅ Hom(A, C) × Hom(A, D).

d) Hom(A ⊗ B, C ⊗ D) ≅ Hom(A, C) ⊗ Hom(B, D).

e) (A × B) ⊗ C ≅ (A ⊗ C) × (B ⊗ C).

f) Hom(A, Hom(B, C)) ≅ Hom(A ⊗ B, C).

6. Legyen R kommutatív egységelemes gyűrű, A ≤ B és C ≤ D baloldali unitér Rmodulusok. Jelölje U az a ⊗ c alakú elemek által generált részcsoportot B ⊗ D-ben, ahol a befutja A-t és c befutja C-t.

a) Mutassuk meg, hogy U homomorf képe A ⊗ C-nek.

b) Igaz-e, hogy B/A ⊗ D/C ≅ (B ⊗ D)/U?

c) Igaz-e, hogy U és A ⊗ C izomorfak?

d) Igaz-e, hogy U és A ⊗ C izomorfak, ha R test?