Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Ötödik és hatodik alkalom

A kvadratikus alakokhoz és az euklideszi terekhez sok további feladat található a Fried Ervin által írt kiegészítő jegyzet ötoldalas darabjában. Ezek, és az alábbi, modulusokról szóló feladatok alkotják az ötödik és a hatodik gyakorlat anyagát.

1. Modulusok, illetve unitér modulusok-e az alábbi struktúrák?

a) A valós együtthatós polinomok az összeadásra nézve ℚ felett a q ∘ p(x) = qp(1) (mint konstans polinom) szorzással.

b) A G = ℝ^{+} × ℝ^{+} Abel-csoport az ℝ gyűrű felett az r ∘ (a, b) = (ra, rb) szorzással.

c) Az előbbi G az ℝ felett az r ∘ (a, b) = (ra, 0) szorzással.

d) Az előbbi G az ℝ felett az r ∘ (a, b) = (ra + rb, ra − rb) szorzással.

e) Az előbbi G a ℂ felett az (r + is) ∘ (a, b) = (ra, sb) szorzással.

f) Az előbbi G a ℂ felett az (r + is) ∘ (a, b) = (ra − sb, rb + sa) szorzással.

g) Tetszőleges A Abel-csoport ℤ felett, ahol n ∘ a = na jelentése a szokásos.

h) Ha S részgyűrűje R-nek, akkor R az S felett, ahol az összeadás az R-beli összeadás, és s ∘ r = sr (R-beli szorzás).

i) Ha S balideálja R-nek, akkor S az R felett, ahol az összeadás az S-beli összeadás, és r ∘ s = rs (R-beli szorzás).

j) Egy halmaz összes részhalmaza a kételemű test felett, az összeadás a szimmetrikus differencia képzése, 0 ∘ H = ∅, 1 ∘ H = H.

2. Legyen M az R gyűrű, mint az S részgyűrűje feletti modulus, ahol az összeadás az R-beli összeadás, és s ∘ r = sr (R-beli szorzás). Modulus-homomorfizmusok-e az alábbi függvények?

a) φ : M → M; φ(r) = tr (t ∈ R rögzített).

b) φ : M → M; φ(r) = rt (t ∈ R rögzített).

3. Tegyük ℝ additív csoportját modulussá ℝ[x] felett kétféleképpen. Az első modulus szorzása p(x) ∘ r = p(1)r, a másodiké p(x) ∘ r = p(2)r. Izomorf modulusokat kaptunk-e?

4. Legyen V egy n-dimenziós vektortér, és R = Hom(V). Tegyük V -t R-modulussá az A ∘ v = A(v) szorzással. Mik lesznek a kapott modulus részmodulusai?

5. Legyen A Abel-csoport, és R az A endomorfizmusainak gyűrűje a pontonkénti összeadásra és a kompozícióra. Mutassuk meg, hogy a φ∘a = φ(a) az A-t baloldali R-modulussá teszi. Hogyan viszonylik ez a modulus az előző feladatban megadott modulushoz? Mely modulusok kaphatók meg ezzel a módszerrel?

6. Legyen

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) és u = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) .

a) Mutassuk meg, hogy az M = ℝ^{3} a pv = p(A)v definícióval ℝ[x]-modulus.

b) Igazoljuk, hogy u generálja M-et (azaz M ciklikus).

c) Mutassuk meg, hogy az A-invariáns alterek éppen a részmodulusok.

d) Adjunk meg egy „szép” bijekciót M részmodulusai és x(x − 1)^{2} osztói között.