Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Negyedik alkalom

1. Legyen A a valós sík egy lineáris transzformációja, melynek m minimálpolinomja másodfokú. Igazoljuk az alábbiakat.

a) Ha m reducibilis ℝ felett, akkor létezik olyan M lineáris transzformáció, és a, b ∈ ℝ, hogy A = aI + bM, és M^{2} = I, de M ≠ I.

b) Ha m irreducibilis ℝ felett, akkor létezik olyan K lineáris transzformáció, és a, b ∈ ℝ, hogy A = aI + bK, és K^{2} = −I.

c) Keressünk olyan bázist, melyben az M illetve K mátrixa „minél szebb”.

2. Legyen A az U vektortér egy lineáris transzformációja, és u ∈ U. Jelölje m_{A,u} azt a minimális fokú normált polinomot, melyre m_{A,u}(A)(u) = 0.

a) Határozzuk meg az m_{A,u} polinomot tetszőleges u esetén, ha A a síkon egy tengelyes tükrözés, egy forgatás, valamint ha A a deriválás a polinomok vektorterén.

b) Mutassuk meg, hogy m_{A,u} mindig létezik.

c) Igazoljuk, hogy m_{A,u} osztója minden olyan h polinomnak, amelyre h(A)(u) = 0.

d) Igazoljuk, hogy m_{A} az összes m_{A,u} legkisebb közös többszöröse, midőn u befutja U-t.

3. Igaz-e, hogy tetszőleges legfeljebb n-edfokú m(x) polinomhoz van az n-dimenziós vektortérnek egy olyan lineáris transzformációja, amelynek m(x) a minimálpolinomja? Mely polinomok állnak elő egy alkalmas lineáris transzformáció karakterisztikus polinomjaként?

4. Legyen A lineáris transzformáció egy komplex feletti n-dimenziós U vektortéren. a) Igazoljuk, hogy ha k ≤ n, akkor A-nak van k-dimenziós invariáns altere.

b) Mutassuk meg, hogy alkalmas bázisban A mátrixa felső háromszögmátrix.

c) Egy felső háromszögmátrix hatványainak főátlójában milyen számok állnak?

d) Mik lesznek A hatványainak sajátértékei? Mit mondhatunk ezek multiplicitásairól?

5. Tekintsük a −x^{2} + 10xy − y^{2} − z^{2} és a −3x\overline{x} + 4ix\overline{y} − 4i\overline{x}y + 3y\overline{y} − z\overline{z} kvadratikus alakot ℝ illetve ℂ felett. Írjuk fel ezek mátrixát, transzformáljuk őket négyzetösszeggé, és határozzuk meg kvadratikus karakterüket.

6. Legyen Q kvadratikus alak egy valós feletti vektortéren, e_{1}, …, e_{n} egy Q-ortogonális bázis, és U = ⟨e_{i} | Q(e_{i}) > 0⟩, V = ⟨e_{i} | Q(e_{i}) ≥ 0⟩, W = ⟨e_{i} | Q(e_{i}) = 0⟩. E három altér közül melyek függetlenek az e_{1}, …, e_{n} bázistól?

7. Mutassuk meg, hogy ha Q kvadratikus alak egy véges dimenziós, ℝ feletti vektortéren, és x ≠ 0 esetén Q(x) ≠ 0, akkor Q definit. Igaz-e az állítás ℚ felett? És ℂ felett?

8. Igaz-e, hogy a kvadratikus alakok vektorterében a pozitív definit alakok halmaza zárt az összeadásra? És a pozitív szemidefiniteké? Hát az indefiniteké?

9. Előáll-e minden kvadratikus alak két pozitív definit kvadratikus alak különbségeként?

10. Bizonyítsuk be, hogy minden ℂ feletti vektortéren értelmezett bilineáris függvény egyértelműen felírható A + Bi alakban, ahol A és B Hermitikus.

11. Legyen B pozitív definit bilineáris függvény az n-dimenziós V vektortéren. Igaz-e, hogy tetszőleges v_{1}, …, v_{n} ∈ V vektorok akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha a |((B(v_{i}, v_{j}))| determináns nullától különböző?