Matematikus gyakorlat, első évfolyam második félév Harmadik alkalom

1. Határozzuk meg az alábbi A lineáris transzformációk illetve mátrixok karakterisztikus polinomját, sajátértékeiket, sajátaltereiket, invariáns altereiket és minimálpolinomját.

a) A az alábbi mátrixok ℝ illetve ℂ felett:

( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )  ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} )

b) V a sík ℝ felett, A pedig az y = x egyenesre való tükrözés; az erre az egyenesre való, függőleges irányú vetítés; az origó körüli α szögű forgatás.

c) V az ℝ[x] legfeljebb másodfokú elemei az ℝ felett, A(f) = f′ (derivált).

2. Bizonyítsuk be, hogy a háromdimenziós valós térben minden transzformációnak van sajátvektora. Milyen dimenziók esetében érvényes az analóg megállapítás?

3. Adjunk meg a térben egy olyan lineáris transzformációt, melynek van olyan kétdimenziós invariáns altere, ami nem sajátaltér.

4. Milyen kapcsolatban állnak egy A mátrix karakterisztikus polinomjának együtthatói A nyomával illetve determinánsával? Igazoljuk a Cayley-Hamilton-tételt kétszer kettes mátrixokra. Oldjuk meg az X^{2} = −E és az X^{2} = 0 egyenleteket ℝ^{2×2}-ben.

5. Bizonyítsuk be, hogy ha az A transzformáció c-hez tartozó sajátaltere k dimenziós, akkor c az A karakterisztikus polinomjának legalább k-szoros gyöke. Adjunk meg olyan példát, ahol nem áll fenn egyenlőség.

6. Melyek azok a lineáris transzformációk a síkon, melyeknek minimálpolinomja elsőfokú? Melyek azok, melyeknek másodfokú? Melyek azok, amelyeknek a minimálpolinomja és a karakterisztikus polinomja különböző?

7. Határozzuk meg egy általános diagonális mátrix minimálpolinomját. Bizonyítsuk be, hogy egy ℂ feletti mátrix akkor és csak akkor diagonalizálható, ha minimálpolinomjának nincsenek többszörös gyökei.

További gyakorló feladatok

8. Mutassuk meg, hogy ha AB = BA, akkor A minden sajátaltere, továbbá Im(A) és Ker(A) is B-invariáns altér.

9. Tegyük fel, hogy A egy olyan lineáris transzformáció egy n-dimenziós téren, melynek n különböző sajátértéke van. Igazoljuk, hogy A-nak pontosan 2^{n} invariáns altere van. Igazoljuk azt is, hogy ha B felcserélhető A-val, akkor van olyan f polinom, hogy B = f(A).

10. Van-e olyan M ∈ ℚ^{100×100} mátrix, melynek csak a két triviális invariáns altere van?

11. Mutassuk meg, hogy egy komplex elemű négyzetes mátrix akkor és csak akkor nilpotens, ha minden hatványának nulla a nyoma. Az első hány hatványra kell ezt feltenni?

12. Oldjuk meg ℚ^{2×2}-ben az X^{4} = 2X egyenletet.

13. Legyen A olyan lineáris transzformáció egy páratlan dimenziós, ℚ feletti vektortéren, melynek minimálpolinomja másodfokú. Bizonyítsuk be, hogy A-nak van sajátvektora.